При различных распределениях случайной величины

И среднего квадратичного отклонения

Интегральная оценка математического ожидания

Наиболее важными числовыми характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия (или среднее квадратичное отклонение). Точечные оценки этих величин по формулам (6) и (61) целиком зависят от объема выборки и могут значительно отклоняться от истинных значений и , особенно при малом числе измерений. В ряде задач требуется не только найти подходящее значение и , но и оценить их точность и надежность. Для решения этого вопроса используют доверительные интервалы и доверительные вероятности. Пусть, например, является точечной оценкой математического ожидания М(Х)=m. Требуется оценить возможное отклонение от m на уровне значимости q, то есть найти такой доверительный интервал [m–e, m+e], который с надежностью 1–q покроет точку m. Последнее запишем так:

или .

(69)

Вероятность попадания в заданный интервал находим по формуле

,

(70)

где и – значения интегральной функции распределения на концах отрезка. Но тогда нужно знать распределение случайной величины , которое, вообще говоря, отличается от распределения самой величины Х. Аналогичная задача ставится и для оценки s.

В случае нормального распределения величины Х этот вопрос хорошо изучен и получены следующие интервальные оценки:

,	(71)
,	(72)

где и S – вычислены по формулам (6) и (9); q – уровень значимости;
t_p,f – значение критерия Стьюдента (приложение 3, табл. 1) с числом степеней свободы f=n–1; – значения квантилей распределения Пирсона, найденные для числа степеней свободы f по табл. 4 приложения 3; n – объем выборки.

Если же распределение случайной величины Х не является нормальным или вообще неизвестно, то при достаточно большой выборке (n>30) по теореме Ляпунова можно считать, что случайные величины и S, рассчитанные по формулам (6) и (9), распределены приблизительно нормально. Тогда для получения интервальных оценок можно воспользоваться формулой (70). На основании этих рассуждений получим расчетные формулы

,	(73)
,	(74)

где и – длины доверительных интервалов, покрывающих истинные значения и случайной величины Х с вероятностью р; – функция, обратная функции Лапласа; S – эмпирический стандарт выборки объема n.

Тогда будем иметь

и .

(75)

Дата добавления: 2015-04-30