ИДЗ-3. Элементы комбинаторики

ИДЗ-2. Законы алгебры множеств

ИДЗ-1. Основные понятия теории множеств

Определить и изобразить на рисунках множества A, B, A È B, A Ç B, A / B, B / A, A D B:

1. A = {(x, y) Î R ²: x £ y }, B = {(x, y) Î R ²: | x | + | y | £ 1};

2. A = {(x, y) Î R ²: y £ – x }, B = {(x, y) Î R ²: x ² + y ² £ 1};

3. A = {(x, y) Î R ²: y £ x ²}, B = {(x, y) Î R ²: x ² + (y – 1)² £ 1};

4. A = {(x, y) Î R ²: x × y ³ 0}, B = {(x,y) Î R ²: x ² + y ² ³ 1};

5. A = {(x, y) Î R ²: y £ – x ²}, B = {(x, y) Î R ²: (x + 1)² + (y + 1)² £ 1};

6. A = {(x, y) Î R ²: x × y £ 0}, B = {(x, y) Î R ²: | x | + | y | ³ 1};

7. A = {(x, y) Î R ²: x ³ y }, B = {(x, y) Î R ²: 9 x ² + y ² £ 36};

8. A = {(x, y) Î R ²: x £ y }, B = {(x, y) Î R ²: 4 x ² + 9 y ² ³ 36};

9. A = {(x, y) Î R ²: max{| x |, | y |} £ 1}, B = {(x, y) Î R ²: x ² + y ² £ 1};

10. A = {(x, y) Î R ²: max{| x |, | y |} £ 2}, B= {(x, y) Î R ²: y ³ x + 1};

11. A = {(x, y) Î R ²: y ³ x ²}, B = {(x, y) Î R ²: y £ 4 – x ²};

12. A = {(x, y) Î R ²: x £ – y }, B = {(x, y) Î R ²: | x | + | y | £ 2};

13. A = {(x, y) Î R ²: | x | + | y | ³ 3}, B = {(x, y) Î R ²: max{| x |, | y |} £ 2};

14. A = {(x, y) Î R ²: y £ – x ²}, B = {(x, y) Î R ²: (x – 1)² + (y + 1)² £ 1};

15. A = {(x, y) Î R ²: x × y £ 0}, B = {(x, y) Î R ²: x ² + (y + 1)² ³ 1};

16. A = {(x, y) Î R ²: x × y £ 0}, B = {(x, y) Î R ²: x ² + y ² ³ 4};

17. A = {(x, y) Î R ²: y £ x ²}, B = {(x, y) Î R ²: (x – 1)² + (y + 1)² £ 4};

18. A = {(x, y) Î R ²: x ² £ y }, B = {(x, y) Î R ²: x ² + y ² ³ 4};

19. A = {(x, y) Î R ²: x × y ³ 0}, B = {(x, y) Î R ²: | x | + | y – 2| ³ 1};

20. A = {(x, y) Î R ²: x £ – y }, B = {(x, y) Î R ²: (x – 2)² + (y + 3)² ³ 1};

21. A = {(x, y) Î R ²: x £ y }, B = {(x, y) Î R ²: 9 x ² + y ² £ 9};

22. A = {(x, y) Î R ²: x ³ y }, B = {(x, y) Î R ²: x ² + 4 y ² ³ 4};

23. A = {(x, y) Î R ²: | x | + | y | £ 2}, B = {(x, y) Î R ²: 9 x ² + y ² ³ 9};

24. A = {(x, y) Î R ²: max{| x |, | y |} £ 2}, B = {(x, y) Î R ²: x ² + 1 £ y };

25. A = {(x, y) Î R ²: max{| x |, | y |} £ 2}, B = {(x, y) Î R ²: 4 – x ² ³ y };

26. A = {(x, y) Î R ²: x × y £ 1}, B = {(x, y) Î R ²: x ² + y ² £ 9};

27. A = {(x, y) Î R ²: x ² + y ² £ 4}, B = {(x, y) Î R ²: (x + 1)² + (y + 1)² £ 4};

28. A = {(x, y) Î R ²: | x | + | y | ³ 4}, B = {(x, y) Î R ²: x ² + y ² £ 16};

29. A = {(x, y) Î R ²: y ³ (x – 2)²}, B = {(x, y) Î R ²: x ² + y ² £ 4};

30. A = {(x, y) Î R ²: x + y £ 3}, B = {(x, y) Î R ²: (x – 1)² + (y – 1)² £ 9}.

Пусть A, B, C – подмножества некоторого универсального множества U. Установите справедливость нижеследующих утверждений.

1. (U \ B)\(U \ A) Ì A \ B; 2. (U \ A)\ B = U \(A È B);

3. A \ C Ì (A \ B)È(B \ C); 4. (A Ç B)È C = (A È C)Ç(B È C);

5. Если A Ì B, то U \ B Ì U \ A; 6. A Ç B = U \((U \ A)È(U \ B));

7. A È B = A È(A D B); 8. A \ B = A Ç(A D B);

9. Если A D B = A, то B = Æ; 10. ( AÈ B)D C Ì (A D C)È(B D C);

11. ( A D B)È(B D C) = (A È B È C)\(A Ç B Ç C); 12. A D B = (U \ A)D(U \ B);

13. A D(A D B) = B; 14. (A \ C)\(B \ A) Ì A \ C;

15. (A \ C)\(B \ A) Ì (A \ B)È(B \ C); 16. (A \ C) Ì (A \ B)È(B \ C);

17. Если U \ B Ì U \ A, то A Ì B; 18. A Ç(B D C) = (A Ç B)D(A Ç C);

19. A D B Ì (A D С)È(B D C); 20. A \(B \ C) = (A \ B)È(A Ç C);

21. (A \ B)\ C = (A \ C)\(B \ C); 22. (A Ç B)\ C = (A \ C)Ç(B \ C);

23. Если C Ì A, то A \(B \ C) = (A \ B)È C; 24. (A D B)\ C = (A \ C)D(B \ C);

25. (A \ B)Ç C = (A Ç C)\ B; 26. (A \ B)È C É (A È C)\ B;

27. (A È B)\ C = (A \ C)È(B \ C); 28. (A \ B)\(A \ C) = (A Ç C)\(A Ç B);

29. (A D B)\ C = (A \(B È C))È(B \(A È C)); 30. (A \ B)Ç C = (A Ç C)\(B Ç C).

а) Вычислите значение X комбинаторного выражения;

б) Решите комбинаторную задачу;

в) Решите комбинаторную задачу повышенного уровня сложности.

1. а) X = – ;

б) На конференции должны выступить 7 докладчиков. Сколькими способами можно составить списки выступлений ораторов?

в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт пять карт так, чтобы среди них было не менее трех шестерок?

2. а) X = – ;

б) Сколько пятизначных телефонных номеров, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?

в) Имеются 5 путевок в Турцию и 7 – в Грецию. Сколькими способами можно отправить 9 туристов на отдых в Турцию или Грецию?

3. а) X = – ;

б) На книжной полке стоят 12 книг различных авторов. Сколькими способами можно взять с полки 7 книг?

в) Сколько различных трехбуквенных слов, в которых буквы не повторяются и есть только одна гласная буква, можно составить из букв а, б, в, г, е, ж?

4. а) X = – ;

б) Сколькими способами можно опустить 4 различных письма в 10 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

в) Сколькими способами можно переставить буквы в слове «высота» так, чтобы все согласные стояли рядом?

5. а) X = + 2 ;

б) Сколькими способами могут быть распределены 5 контрамарок (билетов без указания места) на спектакль среди 12 учеников класса?

в) Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы каждое из этих чисел начиналось и заканчивалось четной цифрой?

6. а) X = + 2 P ₅;

б) Сколькими способами можно расположить на книжной полке 7 различных книг?

в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт четыре карты так, чтобы ровно три из них были одной масти?

7. а) X = + ;

б) У студента имеется 7 различных учебников. Сколькими способами можно выбрать 3 учебника?

в) Сколькими способами можно расставить на книжной полке 8 томов собрания сочинений так, чтобы первый, второй и третий тома стояли рядом?

8. а) X = 5 – ;

б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт пять карт так, чтобы среди них точно была одна шестерка и одна семерка, причем одной масти?

9. а) X = – ;

б) Сколькими способами можно усадить на скамейку 6 человек?

в) В спортивной секции занимаются 10 человек. Сколькими способами можно выбрать из них 5 человек, среди которых трое – участники эстафеты 100 + 400 + 500 и двое – запасных?

10. а) X = + ;

б) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт две карты: одну масти «крести», другую – масти «черви»?

в) На школьной конференции от класса в 20 чел. должны участвовать 5 представителей; среди них – 2 докладчика: по математике и по истории. Сколькими способами можно составить команду участников?

11. а) X = + ;

б) На вершину горы ведут 5 троп. Сколькими способами два туриста, идущие разными тропами, могут добрать до вершины?

в) Из студенческой группы, в которой 7 юношей и 9 девушек, нужно выбрать трех дежурных так, чтобы среди них были и юноши и девушки. Сколькими способами это можно сделать?

12. а) X = 5 – ;

б) У одного школьника 10 различных значков, а у другого 8 различных календариков. Сколькими способами можно обменять 1 значок на один календарик?

в) В ящике лежат 2 черных и 8 белых шаров. Сколькими способами можно извлечь из ящика 5 шаров так, чтобы среди них имелись черные шары?

13. а) X = – 7 ;

б) Сколько трехбуквенных слов, в которых буквы не повторяются, можно составить из букв слова «медиана»?

в) Сколькими способами можно переставить цифры в числе 1234567 так, чтобы в результате перестановки все четные цифры стояли рядом?

14. а) X = + ;

б) Сколькими способами можно распределить 7 лотерейных билетов среди 12 школьников так, чтобы каждому досталось не более одного билета?

в) Сколькими способами можно разложить 10 различных писем в два почтовых ящика так, чтобы в один из них попало не более двух писем, а в другой – все остальные?

15. а) X = 4 + ;

б) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

в) В расписание занятий на субботу можно ставить любой из девяти предметов, среди которых есть алгебра и физика. Сколькими способами можно составить расписание занятий на день, если в данный день должно быть 4 различных урока, включая алгебру и физику, причем последние не должны непосредственно следовать друг за другом?

16. а) X = 20 – P ₄;

б) Сколькими способами из 8 бегунов можно выбрать трех участников эстафеты 100 + 400 + 500?

в) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 так, чтобы в каждом числе были две различные четные цифры и три различные нечетные цифры, причем число начиналось и заканчивалось бы нечетной цифрой?

17. а) X = + ;

б) Из пункта A в пункт B ведут четыре дороги. Сколькими способами турист может добраться из A в B и вернуться обратно?

в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт четыре карты так, чтобы среди них было не менее двух королей?

18. а) X = – 9 ;

б) От студенческой группы в 22 чел. Нужно выбрать одного студента для участия в олимпиаде по математике и одного для участия в олимпиаде по физике. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

в) В корзине лежат 6 яблок и 7 груш. Сколькими способами можно выбрать 5 фруктов так, чтобы среди них было более трех яблок?

19. а) X = ;

б) Сколько двузначных чисел, оканчивающихся четной цифрой, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт шесть карт так, чтобы среди них были точно один туз и один король, причем одной масти?

20. а) X = + 88 ;

б) Сколько четырехбуквенных слов, в которых буквы не повторяются можно составить из букв слова «директор»?

в) На книжной полке стоят 5 различных книг в сером переплете и 6 различных книг в черном переплете. Сколькими способами можно взять с полки 3 книги так, чтобы среди них были книги в разных переплетах?

21. а) X = 6 + 5 ;

б) На собрании, где присутствуют 15 чел., должны выступить 4 чел. Сколькими способами можно составить список выступлений ораторов?

в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт три карты так, чтобы среди них были ровно две дамы, а третья карта была бы красной?

22. а) X = + ;

б) Сколькими способами можно составить букет из 5 роз, если имеются 20 различных роз?

в) Сколькими способами из букв а, б, в, г, д, е, я можно составить слово из пяти различных букв, в котором присутствуют буквы «б» и «я»?

23. а) X = ;

б) Множество A состоит из 5 различных букв, а множество B – из 7 различных цифр. Сколько элементов содержит множество C, составленное из всевозможных пар, содержащих одну букву из A и одну цифру из B?

в) В теннис играют пара на пару две девушки против двух юношей. Сколькими способами можно выбрать игроков для игры из четырех девушек и семи юношей?

24. а) X = – ;

б) Сколькими способами можно выбрать одну гласную букву и одну согласную букву из слова «треугольник»?

в) Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать четыре карты так, чтобы каждая карта была королем или дамой, причем королей среди них было бы не меньше, чем дам?

25. а) X = – ;

б) Имеется пять путевок в Египет с проживанием в различных отелях. Сколькими способами распределить путевки среди 13 человек?

в) Сколько различных семибуквенных слов можно составить из букв а, е, у, в, г, м, н так, чтобы буквы в словах не повторялись и никакие две гласные буквы не стояли рядом?

26. а) X = + ;

б) Имеется пять различных учебников по математике. Сколькими способами они могут быть распределены среди 15 студентов?

в) Автомобильные номера состоят из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить из букв а, б, в, г и цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в номере не повторялись?

27. а) X = – ;

б) В вазе лежат 6 яблок и 8 груш. Сколькими способами можно выбрать из вазы пару фруктов: яблоко и грушу?

в) В ящике лежат 5 черных и 10 белых шаров. Сколькими способами можно выбрать из ящика 5 шаров так, чтобы черных шаров было больше, чем белых?

28. а) X = + ;

б) Сколько четырехзначных чисел, оканчивающихся цифрой 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в записи числа не повторяются?

в) Сколькими способами можно переставить буквы слова «ученик» так, чтобы гласные буквы стояли рядом?

29. а) X = – ;

б) Сколькими способами могут образовать очередь 7 человек?

в) У одного студента имеются 4 различных учебника по математике, а у другого – 6 различных учебников по физике. Сколькими способами можно обменять 2 учебника по математике на 3 учебника по физике?

30. а) X = – 8 ;

б) Сколько существует двузначных чисел, в которых первая цифра делится на 2, а вторая на 3?

в) В корзине имеются 6 белых, 4 черных и 2 синих шара. Сколькими способами можно извлечь из нее три шара одновременно так, чтобы среди извлеченных черных было больше, чем синих?

ИДЗ-4. Классическое определение вероятности

Решите задачу на вычисление вероятности, основываясь на ее классическом определении.

1. Найти вероятность того, что в 4-значном номере случайно выбранного в большом городе автомобиля сумма первых двух цифр равна сумме двух последних.

2. Из 28 костей домино случайно выбираются две. Найти вероятность того, что из них можно составить цепочку согласно правилам игры.

3. В записанном телефонном номере три последние цифры стерлись. Найти вероятность того, что по крайней мере две из них совпадают.

4. Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0, 1, 2, случайно выбирается одна. Найти вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 4 единицы.

5. Из ящика, содержащего шары с номерами 1, 2, 3, 4 вынимают по одному все шары. Найти вероятность того, что хотя бы у одного шара порядковый номер совпадает с собственным.

6. На полке в случайном порядке расставлено 10 книг, среди которых находится трехтомник Фихтенгольца. Найти вероятность того, что эти три тома стоят в порядке возрастания (не обязательно рядом).

7. Колода из 36 карт хорошо перемешана. Найти вероятность того, что четыре туза расположены рядом.

8. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

9. В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

10. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кубик имеет по крайней мере одну окрашенную грань.

11. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

12. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что среди них есть две пятерки, набрал наудачу. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

13. В группе 12 студентов, среди которых 7 отличников. Наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди них есть пять отличников.

14. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков делится на 4.

15. Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков превышает 12?

16. На полке в случайном порядке расставлено 10 книг, среди которых находится трехтомник Фихтенгольца. Найти вероятность того, что эти три тома стоят рядом в порядке возрастания.

17. Бросают три игральные кости. Найти вероятность выпадения ровно двух пятерок.

18. Четырехзначный номер автомобиля считается счастливым, если сумма двузначного числа из первых двух первых цифр с двузначным числом из последних двух цифр равна 100. Найти вероятность того, что номер случайно встреченного в большом городе автомобиля счастливый.

19. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков превышает их произведение?

20. Матрица размерностью 2 ´ 2 случайным образом заполняется нулями и единицами. Какова вероятность того, что ее определитель положителен?

21. Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков делится на пять?

22. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кубик имеет ровно одну окрашенную грань.

23. Матрица размерностью 2 ´ 2 случайным образом заполняется единицами и двойками. Какова вероятность того, что ее определитель отличен от нуля? 24. Колода из 36 карт хорошо перемешана. Найти вероятность того, что четыре подряд вынутые карты будут одной масти.

25. В урне 10 шаров: 4 белых и 6 черных. Какова вероятность того, из трех подряд вынутых шаров ровно два окажутся белыми?

26. В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Из партии наудачу вынимают две детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?

27. В связке 5 разных ключей и только один из них соответствует двери. Делаются попытки открыть наудачу взятым ключом, причем не подошедший ключ более не используется. Найти вероятность того, что а) дверь будет открыта первым ключом; б) для открытия двери будет использовано не более двух ключей.

28. В ящике 5 синих и 8 красных шаров. Наудачу из ящика вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.

29. В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Из ящика вынули 2 шара. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров не превышает 5?

30. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

Литература

1. Андерсон Дж.А. Дискретная математика и комбинаторика.: Пер. с англ. М.: Изд. Дом «Вильямс», 2004. – 960 С.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование, 2006. – 404 С.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшее образование, 2006. – 404 С.

4. Ершова Т.И., Смирнова Н.И. Практические занятия по вводному курсу математики: учебное пособие. Екатеринбург: УрГПУ, 2009. – 80 с.

Дата добавления: 2015-03-29