Необходимое условие сходимости числового ряда

Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд (l) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. Ряд

полученный отбрасыванием первых

п членов суммы (l), называется п-м остатком ряда. Таким образом, ряд (l) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

2. Если каждый член сходящегося ряда (l), сумма которого равна
S, умножить на некоторое число k, то полученный ряд также сходится, и его сумма равна kS.

3. Если даны два сходящихся ряда и

с суммами S и Т соответственно, то новый ряд полученный почленным сложением исходных рядов, также сходится, и его сумма равна S + T.

4. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, и суммы рядов одинаковы.

Теорема 5.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю.или не сугцествует, то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального п имеем S_n= S_n-₁ + а_п или

A_n=S_n-S_n-1

При п -> infinity обе частичные суммы S_n и S_n-1 стремятся к пределу S, поэтому из равенства следует, что

Подчеркнем еще раз, что мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т.е. усдовие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно дока­зывать только расходимость ряда

Дата добавления: 2015-03-29