Соотношение масштабов во временной и частотной областях

1) Если функция преобразуема по Фурье, - ее преобразование по Фурье и - положительное вещественное число, то справедливо равенство

. (2.10.35)

Докажем это. Прямое преобразование Фурье выражается формулой

. (2.10.36)

Введем новые переменные . Тогда

,

откуда

и равенство (2.10.35) доказано.

Таким образом, при растяжении (сжатии) в " а " раз графика функции вдоль оси времени график модуля спектральной характеристики , во-первых, сжимается (растягивается) вдоль оси частот в " а " раз и, во-вторых, увеличиваются (уменьшаются) в " а " раз его значения. Известно, что чем короче импульс, тем шире его спектр.

2) Изображение по Фурье от переходной функции системы с передаточной функцией имеет вид

, (2.10.37)

поэтому сама функция может быть определена с помощью обратного преобразования Фурье:

. (2.10.38)

По аналогии с пунктом 1 введем новые переменные

и, подставив их в (2.10.38), получим

. (2.10.39)

Таким образом, если частотная характеристика системы получается путем сжатия (или растяжения) вдоль оси частот частотной характеристики некоторой исходной системы (рис. 2.56), то ее переходная функция соответственно растягивается (или сжимается) вдоль оси времени.

Дата добавления: 2015-03-31