Итоговые примеры полного синтеза систем управления

3.12.4.1. Система со скалярными входом и выходом
и наблюдателем полного порядка

Задан объект, представленный структурной схемой на рис. 3.20.

Требуется синтезировать реализуемое управление, обеспечивающее единичную статику по командному сигналу, а также динамику основного контура системы и наблюдателя в соответствии с желаемыми собственными числами

Ниже приведены промежуточные результаты расчёта.

Матрица управляемости объекта и ей обратная в исходном базисе:

; .

Матрица управляемости объекта и ей обратная в базисе УКП:

.

Коэффициенты характеристического полинома объекта, желаемой системы и наблюдателя:

;. ; .

Матрица обратной связи в базисе УКП:

.

Матрица наблюдателя:

.

Матрица перехода от исходного базиса к базису УКП:

.

Матрица выхода в базисе УКП:

.

Коэффициент по командному сигналу .

Матрица наблюдаемости в базисе УКП, обратная ей и та же матрица в базисе ИКП:

, .

Матрица перехода от базиса ИКП к базису УКП:

.

Вектор передачи управления в базисе ИКП:

.

Матрица обратной связи в базисе ИКП:

.

Матрица динамики наблюдателя в базисе ИКП:

.

Результирующие уравнения регулятора:

В этих уравнениях индекс при координатах вектора оценки состояния опущен.

3.12.4.2. Система со скалярными входом и выходом
и наблюдателем пониженного порядка

Для объекта, заданного на рис.3.20, построить наблюдатель пониженного порядка. Учесть, что управление объектом строится на основе собственных чисел замкнутой системы .

Для этого объекта

,

собственные числа объекта -

.

Порядок объекта , размерность выхода , следовательно, размерность наблюдателя пониженного порядка .

Зададимся собственным числом наблюдателя (оно должно располагаться на комплексной плоскости левее собственных чисел замкнутой системы). Так как , то примем . Тогда

.

Таким образом, выбрана матрица

.

Ей соответствует невырожденная квадратная матрица

.

Соответственно получаем

.

Теперь в соответствии с (3.11.33) определим :

.

Поскольку назначено , то

и .

Таким образом, , и первое уравнение наблюдателя принимает вид

.

Запишем оценку для :

.

Отсюда

.

Замкнем систему (сформируем управление). В п.3.12.4.1 была рассчитана матрица обратной связи

.

Переведем её в исходный базис:

.

Таким образом, управление принимает вид

.

Структурная схема полной схемы с регулятором и наблюдателем пониженного порядка представлена на рис. 3.21.

2.18.1.1. Система со скалярными входом и выходом
и наблюдателем минимального порядка

Структурная схема объекта представлена на рис. 3.22.

Ему соответствуют матрицы

; ; .

Требуется рассчитать управление и построить наблюдатель минимального порядка.

Объект имеет собственные числа

и характеристический полином

.

Найдём матрицу управляемости:

.

Её определитель , то есть отличен от нуля. Это означает, что объект управляем. Рассчитаем закон управления (матрицу обратной связи), обеспечивающий следующие желаемые собственные числа замкнутой системы:

,

которым соответствует характеристический полином

.

Таким образом, имея коэффициенты характеристических полиномов объекта и желаемой замкнутой системы

,

можно в соответствии с (3.9.18) рассчитать матрицу обратной связи в базисе УКП:

.

Чтобы найти эту матрицу в исходном базисе, нужно знать матрицу перехода от исходного базиса к базису УКП. Так как столбцы этой матрицы являются координатными столбцами векторов базиса (УКП) в исходном базисе , то, используя (3.8.6), можно записать:

;

Таким образом, получаем

и .

В соответствии с (3.9.12)

.

В соответствии с (3.6.8)

.

Используя (3.8.22), запишем передаточные функции:

; ;

; .

В замкнутой системе будет обеспечена единичная статика по координате , если задать

.

Теперь перейдём к синтезу наблюдателя. Построим матрицу :

.

Ранг этой матрицы равен четырём, то есть порядку объекта. Так как старшая степень блока , входящего в неё, равна единице, то индекс наблюдаемости и порядок наблюдателя в соответствии с (3.11.54) . Это означает, что в данном случае может быть построен наблюдатель первого порядка. Зададим единственное собственное число наблюдателя . Отсюда сразу определяется матрица наблюдателя .

Раскроем матричное уравнение Люенбергера (3.11.48), имея в виду, что в данном случае матрица имеет размер . Для этого запишем подробно каждое слагаемое:

;

.

С учётом этих выражений матричное уравнение Люенбергера можно представить в виде системы скалярных уравнений:

Аналогично поступим со вторым матричным уравнением системы (3.11.53), учитывая вытекающие из этого уравнения размерности матриц и :

и

Таким образом, получено восемь уравнений при наличии девяти неизвестных . Примем . После этого легко находятся остальные неизвестные:

В соответствии с (3.11.44) вычисляем

.

В результате можем записать уравнения регулятора совместно наблюдателем Люенбергера минимального (первого) порядка:

Этим уравнениям соответствует структурная схема системы управления, приведённая на рис. 3.23.

3.12.4.3. Многомерная система с разделением каналов
и наблюдателем минимального порядка

Задан объект, представленный структурной схемой на рис. 3.24.

Объекту соответствуют матрицы

Расчёт матриц управляемости и наблюдаемости определяет объект как полностью управляемый и наблюдаемый.

I. Синтез управления в соответствии с п.3.10.

1. Расчёт чисел :

Отсюда следует .

2. Вычисление матриц .

При

.

3. Расчёт :

.

Поскольку эта матрица существует, задача разделения каналов имеет решение.

4. Вычисление матриц :

.

В соответствии с (3.10.13) этим матрицам отвечают уравнения

Соответственно этим уравнениям

то есть действительно исходная система разбита на две независимые подсистемы, состоящие из последовательно включённых интеграторов.

5. Построение матрицы .

В данном случае

.

Новому базису соответствуют матрицы

.

6. Расчёт матрицы обратной связи промежуточной системы в базисе .

Зададим желаемые собственные числа для первого канала

и для второго канала

.

Им соответствуют характеристические полиномы

Получаем строки матрицы :

и саму матрицу

.

Пункты 7 и 8 итогового алгоритма расчёта управления для данного случая не нужны, так как в рассматриваемом примере сумма порядков подсистем равна порядку объекта, и матрица отсутствует.

9. Расчёт матрицы при командном сигнале.

Потребуем выполнения равенства

.

Тогда

и

.

10. Расчёт матрицы обратной связи промежуточной системы в исходном базисе:

11. Расчёт результирующей матрицы обратной связи:

.

12. Расчёт матрицы передаточных коэффициентов по вектору командных сигналов:

.

Таким образом, получено управление, использующее координаты вектора состояния объекта:

II. Синтез наблюдателя в соответствии с п.3.11.3.

1. Расчёт индекса наблюдаемости.

Строим матрицу :

.

Эта матрица имеет 4 линейно независимые строки, её детерминант отличен от нуля, значит, . Следовательно, индекс наблюдаемости объекта и размерность наблюдателя .

2. Задание динамики наблюдателя.

Зададим собственные числа . Соответственно матрица динамики наблюдателя

.

3. Решение системы матричных уравнений (3.11.53).

Матрица имеет размерность , матрицы , , - .

Следовательно, система скалярных уравнений, соответствующая системе матричных уравнений (3.11.53), содержит 16 уравнений и 20 неизвестных. Таким образом, мы имеем право произвольно задать 4 «лишних» неизвестных. Зададим матрицу единичной, то есть

.

С учётом этого из первого матричного уравнения (3.11.53) получим следующую систему уравнений:

Второе матричное уравнение (3.11.53) преобразуется в систему скалярных уравнений:

Совместное решение последних шестнадцати скалярных уравнений позволяет найти все элементы искомых матриц:

Используя (3.11.44), вычислим матрицу

.

4. В соответствии с полученными результатами записать уравнения регулятора, включая наблюдатель:

Результирующая структурная схема замкнутой системы представлена на рис. 3.25.

На рис. 3.26 показана итоговая структурная схема системы управления с использованием передаточных функций. Как и отмечалось выше, передаточные функции, связывающие соответствующие координаты вектора входа и вектора выхода системы, не зависят от наличия наблюдателя. Из рисунка хорошо видно, что результирующая система имеет полностью развязанные каналы, по каждому из каналов обеспечены единичная статика и заданные при синтезе собственные числа (полюсы передаточных функций).

Список литературы

1.Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. –М.: Наука, 1976. –424 с.

2.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. –М.: Наука, 1982. –304 с.: ил.

3. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.- М.:Наука, 1979.-335с.:ил.

4.Деруссо П., Рой Р., Клоуз С. Пространство состояний в теории управления. –М.: Наука, 1970. –620 с.: ил.

5.Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. -СПб.: Политехника, 1998. -295 с.: ил.

6.Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. –М.: Мир, 1977. –650 с.: ил.

7.Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962.- 600 с. с черт.

8.Острём К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ: Пер. с англ. –М.: Мир, 1987. –480 с.: ил.

9.Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. –М.: Наука, 1978. –256 с.: ил.

10.Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. –М.: Наука, 1979. –256 с.: ил.

11.Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В.А.Бесекерского. 5-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука, 1978. – 510 с.:ил.

12.Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В.Григорьев, В.Н.Дроздов, В.В.Лаврентьев, А.В.Ушаков.–Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983. –245 с.

13.Современная теория управления / Под ред. К.Т.Леондеса. –М.: Наука, 1970. –512 с.: ил.

14.Теория автоматического управления. Часть I / Под ред. А.В.Нетушила. –М.: Высшая школа, 1968. –424 с.: ил.

15.Теория автоматического управления. Часть II / Под ред. А.В.Нетушила.–М.: Высшая школа, 1972. –432 с.: ил.

16.Теория автоматического управления. Часть I / Под ред. А.А.Воронова. –М.: Высшая школа, 1977. –303 с.: ил.

17.Теория автоматического управления. Часть II / Под ред. А.А.Воронова. –М.: Высшая школа, 1977. –288 с.: ил.

18.Ту Юлиус Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления: Пер. с англ.- М.: Машиностроение, 1964. – 703 с.: ил.

19.Ту Ю.Т. Современная теория управления: Пер. с англ. –М.: Машиностроение, 1965. –704 с.: ил.

20.Циплаков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования.- М.: Машиностроение,1977. -592 с.: ил.

21.Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. –М.: Наука, 1977. –560 с.: ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение в теорию автоматического управления....................... 4

2. Методы анализа непрерывных систем................................................. 19

2.1. Понятие пространства состояний..................................................................... 19

2.2. Линеаризация исходных уравнений................................................................ 21

2.3. Линейные системы, заданные обыкновенными дифференциальными уравнениями в нормальной форме Коши..................................................................... 30

2.3.1. Однородные дифференциальные уравнения.................................................... 30

2.3.2. Решение неоднородных векторно-матричных дифференциальных уравнений............................................................................................................................... 35

2.4. Некоторые сведения из теории матриц........................................................... 36

2.4.1. Собственные числа, характеристический полином, присоединенная матрица 36

2.4.2. Собственные значения и собственные векторы транспонированной матрицы................................................................................................................................ 40

2.4.3. Определение функции от матрицы через её левые и правые собственные векторы 43

2.5. Свойства движений линейных систем............................................................ 48

2.5.1. Матричная весовая и переходная функции..................................................... 48

2.5.2. Модальная (спектральная) интерпретация решения векторно-матричных дифференциальных линейных стационарных уравнений........................................... 53

2.6. Модели стационарных линейных систем в комплексной плоскости на основе преобразования Лапласа.................................................................................................... 55

2.6.1. Матрица передаточных функций..................................................................... 55

2.6.2. Основные свойства передаточных функций................................................... 61

2.7. Комплексный передаточный коэффициент................................................... 64

2.7.1. Способы определения понятия «Комплексный передаточный коэффициент» 64

2.7.2. Реакция динамических звеньев на гармонические воздействия................. 65

2.7.3. Частотные характеристики............................................................................. 68

2.8. Графическое представление объектов и систем управления........... 69

2.8.1. Соглашение об обозначениях.............................................................................. 69

2.8.2. Структурные схемы и графы стационарных систем................................. 71

2.9. Устойчивость систем............................................................................................. 85

2.9.1. Асимптотические свойства собственного движения и весовой матрицы линейной системы................................................................................................................................. 85

2.9.2. Необходимое условие устойчивости................................................................ 88

2.9.3. Критерий устойчивости Гурвица..................................................................... 89

2.9.4. Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста).................. 93

2.10. Качество процессов управления..................................................................... 104

2.10.1. Основные показатели качества.................................................................. 104

2.10.2. Ошибки системы регулирования в установившихся режимах. Статические и астатические системы................................................................................................... 107

2.10.3. Точность систем при отработке гармонических сигналов................ 112

2.10.4. Связь между логарифмическими амплитудно-частотными характеристиками и качеством переходных процессов в САУ..................................................................... 114

2.10.5. Соотношение масштабов во временной и частотной областях 117

2.11. Интегральные критерии качества с позиций общности задач оптимального и модального синтеза........................................................................................................... 120

3. Синтез линейных непрерывных систем............................................ 125

2.10. Выбор корректирующих звеньев. Метод желаемых ЛЧХ....................... 125

2.11. Управляемость линейных стационарных систем.................................... 128

2.12. Наблюдаемость линейных стационарных систем................................... 132

2.13. Замена базиса в линейном конечномерном пространстве................... 137

2.14. Линейные операторы и матрицы линейных операторов........................ 140

2.15. Замена базиса в пространстве состояний динамической системы. 145

2.16. Вычисление матрицы преобразования базиса в пространстве состояний динамической системы с помощью матриц управляемости и наблюдаемости 148

2.17. Канонические представления систем........................................................... 150

3.8.1. Управляемое каноническое представление системы со скалярным входом 150

3.8.2. Передаточная функция и структурная схема для системы в УКП........ 155

3.8.3. Идентификационное каноническое представление системы с одним (скалярным) выходом............................................................................................................................... 157

3.8.4. Передаточная функция и структура для системы в ИКП....................... 158

3.9. Обратная связь по состоянию, обеспечивающая заданное (желаемое) расположение собственных чисел в замкнутой системе с одним (скалярным) входом 160

3.10. Синтез управления в многомерной системе. Задача разделения каналов 164

3.10.1. Разделение исходного объекта на подсистемы интеграторов......... 165

3.10.2. Преобразование базиса в пространстве ........................................... 169

3.10.3. Формирование управления............................................................................ 175

3.10.4. Итоговый алгоритм...................................................................................... 178

3.11. Основы построения идентификаторов состояния (наблюдателей).. 181

3.11.1. Наблюдатель Люенбергера полного порядка.......................................... 181

3.11.2. Наблюдатель пониженного порядка......................................................... 187

3.11.3. Наблюдатель Люенбергера минимального порядка.............................. 191

2.18. Синтез реализуемого управления, обеспечивающий заданные динамические и статические свойства системы управления............................................................. 194

3.12.1. Динамические свойства системы с обратной связью и наблюдателем полного порядка 194

3.12.2. Динамические свойства системы с обратной связью управлением и наблюдателем минимального порядка......................................................................... 196

3.12.3. Результирующий алгоритм синтеза для системы с одним входом и одним выходом 197

3.12.4. Итоговые примеры полного синтеза систем управления.................... 198

Евгений Эрастович Страшинин

Дата добавления: 2015-03-31