Отображение и преобразование множеств (инъекция, сюръекция, биекция и их примеры)

Основные понятия: множество, отображение множеств — (частный случай соответствия).

Определение: Преобразованием множества называется взаимнооднозначное отображение множества на себя (1).

Определение: Отображение множества на себя, которое является одновременно инъективным, т.е. биекция, называется преобразованием множества, т.е. преобразование — это биекция множества на себя.

Определение: Инъекция — это такое отображение f, при котором для любых

.

— инъекцией не является.

— инъекция.

Определение: Сюръекция — это такое отображение множества на множество , при котором каждая точка множества является, по крайней мере, образом одной точки множества : , т.е. для любого существует такое что

Инъекция — это «отображение »

Сюръекция — это «отображение на »

Отображение, которое одновременно инъективно и сюръективно — биективно.

Биекция: для любого существует единственное ; .

В частности выделяют преобразования точек плоскости, как биекцию точек плоскости на себя.

Пример:

1. Симметрия центральная

1. — движение, т.к.

2. .

3. .

4.

5. Для любого существует единственное , если ,

6.

5. — свидетельство того, что при центральной симметрии есть неподвижная единственная точка 0 — центр симметрии.

6. — координатное задание центральной симметрии (аналитическое).

2. Осевая симметрия , где — прямая (ось).

Дата добавления: 2015-04-23