Расчет параметров сетевого графика. Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты, т.д.), либо от инвестиций производственного и финансового

11.02.13

ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты, т.д.), либо от инвестиций производственного и финансового характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов. Она определяется как отношение дохода, выплачиваемого за использование капитала в течение определенного периода времени к величине этого капитала.

Таким образом, величина получаемого дохода, то есть процентов, зависит от величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки.

Множитель, или коэффициент наращения, - это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления – это минимальный период по прошествии которого происходит начисление процентов.

Процентные ставки могут быть либо простыми, если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, либо сложными, если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов.

В большинстве коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений или выплат в течение определенного периода. Такая последовательность называется потоком платежей. Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между ними называется аннуитетом, или финансовой рентой.

Наиболее распространенные примеры аннуитета – регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам (аннуитет называется дивидендом).

Простые проценты применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.

Введем следующие обозначения:

· П – проценты за весь срок

· Р – первоначальная сумма

· С – сумма, образовавшаяся к концу срока, или наращенная сумма

· А – ставка процентов в идее десятичной дроби

· n – число периодов

Процесс изменения суммы долга с наращенными простыми процентами описывается арифметической прогрессией:

Р

Р+Р*А=РР*(1+А)

Р*(1+А)+Р*А = Р*(1+2А)

С = Р*(1+n*А)

Это выражение называется формулой простых процентов, а множитель (1+n*А) – множителем наращения простых процентов.

Если срок начисления процентов меньше периода, на который установлена процентная ставка, то формула простых процентов приобретает вид:

С = Р*(1+Т/К*А),

где Т – число дней ссуды, К – число дней в году

За базу измерения времени часто берут год условно состоящий из 360-ти дней, то есть 12 месяцев по 3- дней. В этом случае вычисляют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году 365 или 366. В свою очередь определения числа дней ссуды может быть точным или приближенным. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором продолжительность ссуды определяется количеством целых месяцев и дней ссуды, причем месяц принимается равным 30-ти дням.

В том и в другом случае дата выдачи и дата погашения считается за 1 день. В связи с этим применяется 3 варианта расчета:

· точные проценты с точным числом дней ссуды

· обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

· обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

Сложные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом процентных ставок, применяемых в различных финансовых операциях. Если после каждого интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулу сложных процентов.

Таким образом, наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся в геометрической прогрессии:

Р

Р+Р*А = Р*(1+А)

Р*(1+А)++Р*(1+А)*А = Р*(1+А)²

С = Р*(1+А)ⁿ

Это выражение называется формулой сложных процентов, а (1+А)ⁿ – множителем наращения сложных процентов.

Начисление сложных процентов может осуществляться на один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов – это годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке An эта величина считается равной An/m. Тогда формула сложных процентов будет иметь вид:

С =

n – число лет ссуды

m – количество интервалов начислений в год

Можно определить годовую ставку сложных процентов, которая дает тот же финансовый результат, что и m разовое наращение в год по стае Аn/m – эта ставка называется эффективной и определяется:

Аэ = (1+An/m)^m – 1

Часто встречаются ситуации когда финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет. Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то проценты могут начисляться одним из двух методов:

· по схеме сложных процентов:

С = Р*(1+An/m)^n+l

· по смешанной схеме, когда для целого числа лет используется схема сложных процентов, а для дробной части года – схема простых процентов:

C = P*(1+An/m)^n*m +P(1+l*An/m)

n – целое число лет, l – дробная часть года

Все рассмотренные выше проценты называются дискретными, так как их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, месяц, квартал, день). В РФ этот вид начисления процентов является наиболее распространенным. В мировой практике также применяется так называемое непрерывное начисление сложных процентов, то есть когда продолжительность интервала начисления стремится к 0, а их количество к бесконечности. В РФ это способ начисления процентов практически не применяется.

Множественность способов начисления процентных ставок вызывает необходимость их корректного сопоставления. Для этого при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, определяются так называемые эквивалентные процентные ставки.

Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент дл их сравнения.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнение эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем: выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок. Обычно это наращенная сумма. На основе равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

ГРАФИК ГАНТА

Один из простейших методов, используемых менеджерами при составлении планов действий, это график Ганта. Разработанный Генри Гантом в начале этого века, график Ганта — это контрольная схема, на которой по горизонтали отмечают время, а по вертикали — виды деятельности или задания. Горизонтальные квадраты представляют собой сроки выполнения каждого задания, а дополнительные пометки в каждом горизонтальном квадратике означают реальное выполнение задания. Пример графика Ганта, разработанного для контроля за постройкой фундамента для производственного компрессора и его установкой, показан на рис. 8.6. Здесь использовались традиционные символы, которые обычно используются при составлении графика Ганта. Скобки ([ и ]) показывают, когда планируется выполнение того или иного задания. Чистые квадраты показывают продолжительность реального процесса. Точка «Текущая дата» в нижней части схемы показывает, какая неделя (или любой другой отрезок времени) наступила, позволяя любому менеджеру, взглянувшему на график, определить, на какой стадии выполнения находится проект. Например, дата, отмеченная на рис. 8.6, показывает, что строительство фундамента для компрессора идет с опережением графика, в то время как поступление самого компрессора отстает от расписания.? Реальное выполнени ЕЗ Время, оставленное для устройства или обслуживания Схема 8.6. Пример использования графика Ганта Схему Ганта используют как для планирования, так и для контроля за выполнением буквально любого проекта и задания. Если заполнять ее регулярно, она показывает расхождения между планом и реальными действиями на любую конкретную дату. Используя подобную систему, менеджер может быстро перераспределить ресурсы на то задание, выполнение которого отстает от расписания. График Ганта может также показать степень соответствия планируемых и реальных затрат, а также изменения в заданиях и действиях. В настоящее время в таком графике обычно отмечают еще и ответственного за выполнение каждого задания. Это помогает менеджерам еще эффективнее использовать этот график как инструмент контроля.

3.2.1. Временные параметры сетевых графиков

Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для указания конкретной работы используют код работы Р_i,j, состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий (рис. 3.1, а).

На рис. 3.1, б изображен пример кодирования работ и событий в принятых обозначениях: t_ij – продолжительность работы Р_i,j, t – ранний срок (ожидаемый момент) осуществления события, t^* – поздний срок (предельный момент) осуществления события, n – номер события, n_см – номер предшествующего (смежного) события.

Рис. 3.1. Обозначение элементов сетевого графика: а – код работы; б – пример кодирования событий в при­нятых обозначениях; в – пример изо­бражения события в принятых вы­ше обозначениях

На рис. 3.1 в приведён пример изображения события в принятых выше обозначениях.

Обозначим через множество работ, входящих в j-е событие, а через – множество работ, выходящих из i-го события.

Ранний срок (ожидаемый момент) осуществления j-го события представляет собой момент времени, раньше которого событие произойти не может и рассчитывается по формуле

. (3.1)

Поздний срок (предельный момент) осуществления i-го собы­тия показывает максимальную задержку во времени наступления данного события:

. (3.2)

Одно из важнейших понятий сетевого графика – понятие пути L.

Критический путь – последовательность работ между начальными и конечными событиями сети, имеющих наибольшую продолжительность во времени. Минимальное время, необходимое для выполнения проекта, запланированного сетевым графиком, равно длине критического пути. Сетевой график может содержать не один, а несколько критических путей. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.Резервный интервал от t до t* для событий, лежащих на критическом пути, равен 0. Для завершающего события сетевого графика поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку, т. е. t_п = t*_п.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события, т. е. t_кр = t_п = t*_п.

Дата добавления: 2015-04-23