Статистические распределения Ферми-Дирака и Бозе Эйнштейна

Каждая микрочастица обладает спином, который является ее внутренним свойством, аналогичным массе, заряду и т.п.. Спиновое квантовое число определяет собственный механический момент импульса:

.

Проекция этого собственного момента импульса на ось соответственно равна

.

Величина может быть целой или полу целой величиной, что зависит от - функции, описывающей поведение этой частицы. Но основное отличие частиц, имеющих полу целый спин, от частиц, имеющих целый спин, состоит в том, что первые не подчиняются принципу Паули, а вторые ему подчиняются. Соответственно, первые называются бозонами, а вторые – фермионами.

Рассмотрим заполнение ячеек 6-мерного пространства фермионами:

Вертикальные клетки – характеризуют различные величины энергии частиц, а горизонтальные – их момент импульса. При температуре всего газа равной абсолютному нулю распределение будет таким, как показано на рисунке. Все частицы не смогут расположиться на нижнем уровне, иначе нарушится принцип Паули. Далее энергетические уровни заполняются последовательно, так как частицы как и тела стремятся занять уровень с минимальное энергией. При этом большая часть частиц будет иметь некоторую энергию даже при . И эта энергия будет достаточно велика. Максимальную энергию частиц при обозначим . Она называется химическим потенциалом для бозонов и фермионов.

Плотность вероятности заполнения ячеек с энергией ниже равна единице , а при .

Если температура Ферми – газа повысится, то электроны, занимающие верхние уровни приобретут дополнительную энергию.

(рисунок)

Распределение Ферми-Дирака имеет вид

.

. Соответственно число заполненных фермионами ячеек равно

,

где - общее число ячеек.

Микрочастицы -бозоны отличаются от фермионов тем, что, имея кратный целому числу спин, они не подчиняются принципу Паули и могут находится в одной ячейке фазового пространства в неограниченном количестве.

В распределении, Бозе-Эйнштейна отсчет энергии для микрочастицы ведется не от нуля, а от величины химического потенциала . Функция распределения имеет вид

.

Так как частицы двигаются в выбранном пространстве, отражаясь от его стенок, движение можно рассматривать как стоячие волны. Число таких волн определяется объемом, фазовой скоростью и частотой волн:

где - частота; - фазовая скорость, стоячих волн в некоторой полости объемом .

.

Дата добавления: 2015-04-24