Область допустимых планов. Оптимальный план и оптимум

Общая задача линейного программирования

Динамическое планирование

Рассмотренные модели предназначаются для определения оптимального плана в одном промежутке времени. При составлении оптимальной последовательности планов, каждый из которых предназначен для реализации в своем периоде времени, поступают следующим образом. Для каждого промежутка формируют свою модель, а затем эти модели с помощью дополнительных ограничений связывают друг с другом.

Результаты деятельности предприятия (доходы, материальные запасы) в одних периодах времени влияют на условия деятельности в других, последующих периодах. Дополнительные ограничения, сцепляющие друг с другом модели разных периодов, как раз и выражают такие связи между результатами, полученными в одних периодах, и условиями деятельности в других.

Мы рассмотрели основную, базовую модель оптимального использования ресурсов и различные ее модификации. Эти модификации могут объединяться и использоваться совместно. Разумеется, существуют и другие, не рассмотренные здесь условия и ситуации построения производственного плана. Они также могут быть промоделированы аналогичным образом.

Разнообразные другие дополнительные производственные условия без труда могут быть учтены в математической модели. Они приводят лишь к расширению модели, увеличению числа ограничений и переменных, но не приводят к ее качественному принципиальному изменению.

Задачи линейного программирования, охватывают самые разнообразные управленческие ситуации, требующие расчета оптимальных решений. Наряду с различными моделями производственных ситуаций, они содержат задачи, возникающие из других экономических проблем. Единый подход к моделированию разнообразных задач позволяет разработать единые методы их решения и анализа, дает возможность увидеть существенные общие черты в проблемах, различных по экономическому содержанию и источникам возникновения. Дадим необходимые определения.

Функция n переменных x ₁, x ₂,... x _n

.

называется линейной функцией, если она представима в виде линейной комбинации переменных, то есть в виде суммы переменных с постоянными коэффициентами

.

Иногда линейной называют также функцию вида

,

отличающуюся от предыдущей постоянным слагаемым d.

Равенство

,

а также неравенства

,

называются линейным равенством и линейными неравенствами, если функция

является линейной.

Задачей линейного программирования называется задача, состоящая в нахождении экстремального (максимального или минимального) значения линейной функции

при условии, что переменные удовлетворяют системе линейных равенств и неравенств:

Функция, экстремальное значение которой требуется отыскать, называется целевой функцией. Система равенств и неравенств называется системой ограничений.

Всякий набор значений переменных, то есть вектор X значений,

называется планом задачи. План называется допустимым планом, если он удовлетворяет системе ограничений. Обычно (но не всегда) множество допустимых планов бесконечно. На разных планах целевая функция принимает различные значения. Задача линейного программирования требует, чтобы среди всех допустимых планов был найден тот план, на котором целевая функция достигает искомого экстремального значения (максимального и минимального, в зависимости от конкретной задачи). Такой план называется оптимальным планом. Значение целевой функции на оптимальном плане называется оптимумом.

Решить задачу линейного программирования - значит найти ее оптимальный план и оптимум.

ГРАФИКА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Рассмотрим вопрос о решении задач линейного программирования. Подчеркнем, что на стадии решения задачи ее экономический смысл отступает на второй план. Можно даже вовсе не знать, из какой конкретной экономической ситуации возникла та или иная математическая модель. Решение задачи - это чисто математическая процедура. Однако, чтобы, получив результаты решения, воспользоваться ими, нужно, конечно, вернуться к экономическому содержанию задачи, сопоставить полученные результаты с конкретными экономическими условиями.

Рассмотрим сначала метод решения относительно простых задач, задач с двумя переменными. Как мы знаем, всякую задачу линейного программирования можно привести к стандартной форме. Рассмотрим задачу с двумя переменными следующего вида

Планы такой задачи - это пары чисел (x₁, x₂). Им соответствуют точки координатной плоскости (Рис. 2.1).

Рис. 2.1. Ограниченная область допустимых планов

Дата добавления: 2015-04-24