Моделирование экономики 7 страница

Обоснование неоспоримости этих аксиом можно найти, например, в книге [ 18 ].

Главный вопрос теперь заключается в том, существует ли отношение предпочтения, удовлетворяющее этим четырем аксиомам? К сожалению, в общем случае ответ будет отрицательным. Более или менее известные способы определения коллективного предпочтения, такие, как "правило большинства", "правило уравновешивания", "правило диктатора", во-первых, более применимы в области политики, чем экономики, во-вторых, приводят к нарушению некоторых из аксиом A₁-A₄. Это вполне понятно. С одной стороны, легче согласовать идеи, чем потребности, с другой - участники экономики поступают главным образом эгоистически, и не существует единственного способа приспособления их потребностей друг к другу. Во избежание неправильных выводов здесь нужно пояснить: сказанное не означает, что в каждом отдельном случае коллектив не придет к соглашению. Речь идет лишь об отсутствии общих адекватных методов получения коллективного предпочтения.

Теперь проанализируем возможность построения коллективной функции полезности, исходя из индивидуальных функций полезности всех потребителей. Последние, как мы видели, вполне реально определяются и существуют. Искомую функцию для потребительского сектора S естественно определить как , где - функция полезности потребителя i. По определению 3.1, с этой функцией должно быть связано некоторое отношение предпочтения : тогда и только тогда, когда . Оказывается, такое отношение предпочтения удовлетворяет аксиоме единогласия, но противоречит аксиоме независимости (установите это самостоятельно).

Для выявления еще более серьезного возражения против функции представим ее в виде , где , , s - число всех потребителей. Тогда по теореме 3.2 любая функция вида

где , является также функцией коллективной полезности. Положим . Легко видеть, что функция в этом случае порождает отношение предпочтения, дающее приоритетный вес только первому потребителю. Такое отношение предпочтения явно не совпадает с отношением предпочтения, порожденным исходной функцией . Можно доказать, что только в одном случае все функции вида (5.2.1) будут соответствовать одному и тому же отношению предпочтения, а именно, когда выполнено дополнительное условие . Каждому набору коэффициентов из этого условия будет соответствовать своя функция полезности . Возникает новая проблема: какую из этого бесконечно большого числа функций предпочтут потребители?

Резюмируя, можно говорить, что попытка определения коллективной функции полезности на основе индивидуальных функций полезности не решает проблему, так как вопрос существования коллективно предпочитаемых весов возвращает проблему к исходной точке. Вообще, задача коллективного предпочтения требует принципиально иных подходов.

Напомним, что мы анализировали возможность построения коллективной функции полезности и пришли к отрицательному заключению: с одной стороны, ее нельзя построить непосредственно, так как нельзя определить строго понятие коллективного предпочтения; с другой - ее не удается построить, используя индивидуальные функции полезности, из-за проблемы неоднозначности.

Теперь проанализируем возможность определения рыночного спроса, исходя из решений индивидуальных оптимизационных задач вида (3.4.1)-(3.4.2) для всех потребителей. Такой анализ проведем нестрого, так, как это делают экономисты, на языке кривых спроса. А именно, покажем, что кривую рыночного спроса () можно получить как сумму кривых индивидуального спроса () всех потребителей. На рис. 5.3 показаны линейные графики спроса для трех потребителей. Любая точка на кривой рыночного спроса получается для данной цены как сумма по горизонтальной оси координат соответствующих этой же цене точек всех индивидуальных кривых спроса. Аналитически это означает, что . При этом рыночная кривая спроса не обязательно имеет такой же вид, что и индивидуальные кривые. Как видно из рис. 5.3, даже для линейных кривых индивидуального спроса рыночная кривая получается нелинейной (изгиб в точке ). Изменению подвергаются и другие свойства индивидуальных кривых, в частности, такие характеристики, как эластичность спроса, предельная норма замещения и др.

Для теоретического обоснования приведенного выше "графического способа" определения рыночного спроса сформулируем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 5.1. Пусть области определения , , функций полезности индивидуальных потребителей есть конусы с вершинами в нуле пространства товаров. Пусть, далее, каждая индивидуальная функция полезности положительно однородна и принимает на хотя бы одно положительное значение. Тогда существует такая функция , что при любых ценах решение задачи , , совпадает с суммой решений s оптимизационных задач: .

Напомним, что множество называется конусом с вершиной в нуле пространства , если оно вместе с каждой точкой содержит луч .

По существу, в теореме 5.1 сформулированы те условия, при выполнении которых существует коллективная функция полезности () и с помощью которых всех потребителей можно представить как одно лицо.

Как и в случае с потребителями, путем суммирования кривых предложения отдельных фирм, полученных в результате решения их оптимизационных задач, можно получить понятие кривой рыночного предложения. Общий вывод такой, что можно найти, во всяком случае, приемлемые для экономической практики способы формализации понятий рыночного спроса и рыночного предложения. Последнее дает моральное право оперировать понятиями совокупного спроса и совокупного предложения. Представляется необходимым обратить внимание читателя на следующий момент. Совокупный спрос (совокупное предложение) не является результатом кооперирования между потребителями (производителями). Более того, кооперация вообще исключена условиями совершенной конкуренции (см. ниже). Совокупный спрос характеризует суммарную потребность общества в товарах, а совокупное предложение - суммарные возможности производителей этих товаров. Перейдем теперь к уточнению понятия совершенной конкуренции. Все теоретические построения, рассмотренные раньше относительно потребителей и фирм, базировались на предположении о фиксированности цен товаров и ресурсов, т.е. мы этим самым неявно предполагали функционирование участников экономики в условиях совершенной конкуренции.

В экономической теории принято считать, что рынок с совершенной конкуренцией определяется следующими признаками:

1. наличие большого числа независимых друг от друга фирм, производящих одни и те же товары; при этом доля выпуска каждой фирмы незначительна по сравнению с суммарным выпуском всех фирм;
2. наличие большого числа независимых друг от друга потребителей данных товаров; при этом доход отдельного потребителя незначителен по сравнению с суммарным доходом всех потребителей;
3. полная свобода действий всех участников рынка за исключением соглашений по контролю над рынком;
4. однородность товаров на рынке и их мобильность;
5. совершенное знание рынка (конъюнктуры товаров, их цен) покупателями и продавцами.

При выполнении первых двух условий отдельные покупатели и продавцы воспринимают рыночные цены как заданные извне, не имея возможности на них повлиять. Условие 3) обеспечивает наличие конкуренции как среди покупателей, так и среди продавцов. Требование 4) обуславливает возможность существования единой цены на товар; условие 5) необходимо для принятия оптимального решения участниками рынка по поводу купли и продажи товаров.

Имея в виду влияние этих условий, экономическое равновесие часто называют конкурентным равновесием. Условия совершенной конкуренции считаются наиболее выгодными для общества. Но, как легко догадаться, эти условия носят весьма идеализированный характер, т.е. в действительности невозможно точное выполнение всех этих условий. Поэтому понятие совершенной конкуренции имеет в известной степени абстрактный оттенок. Отсюда вывод - рассматриваемая в данной главе модель Вальраса, предполагающая совершенность конкуренции, описывает функционирование идеального рынка и имеет больше теоретическое, чем практическое значение. Сказанное не умаляет роли модели Вальраса как исходной точки для многих обобщений и модификаций, таких как рыночная модель Эрроу-Дебре, модель расширяющейся экономики Дж. фон Неймана, модель "затраты-выпуск" В. Леонтьева и др.

17. Описание общей модели Вальраса.

Исходными концепциями модели Вальраса являются:

1)дезагрегированность участников рынка: рассматриваются отдельные потребители и отдельные производители;

2)совершенность конкуренции;

3)общность равновесия.

Последняя концепция означает рассмотрение равновесия по всем товарам сразу, а не по отдельным товарам. Следовательно, в модели Вальраса вводится понятие общего равновесия (т.е. равновесия по всем товарам).

Будем предполагать, что на рынке продаются и покупаются товары двух видов: готовые товары, являющиеся продуктом производства (товары конечного потребления) и производственные ресурсы (первичные факторы производства). Поэтому будем рассматривать "расширенное" пространство товаров , где n - число видов всех товаров. Компонентами вектора являются как выпуски, так и затраты (первичные факторы). Для различения их, затраты снабжают отрицательным знаком (поэтому пишем , а не ). Если есть вектор чистого выпуска, то все его компоненты, соответствующие затратам, будут равны нулю; если есть вектор только первичных факторов, то все его компоненты, соответствующие конечным продуктам, будут равны нулю.

Индексы (виды) товаров, как и раньше, будем обозначать буквой k (k=1,...,n), индексы потребителей - буквой i (i=1,...,l) и индексы производителей - буквой j (j=1,...,m).

Через будем обозначать вектор цен товаров.

Выходя на рынок, каждый потребитель или производитель становится одновременно покупателем одних и продавцом других товаров. Потребитель, т.е. участник рынка, "непосредственно не занятый в производстве", может продавать имеющиеся в его распоряжении первичные факторы и покупает товары производителей. Производитель, т.е. участник рынка, "непосредственно занятый в производстве", продает свою готовую продукцию и покупает первичные факторы у потребителей.

Поэтому каждый потребитель i как участник рынка характеризуется тремя параметрами: начальным запасом товаров , функцией дохода и вектор-функцией спроса на продукты производства .

Каждый производитель j характеризуется двумя параметрами: вектор-функцией предложения готовой продукции и вектор-функцией спроса на затраты . Однако в модели Вальраса применяется несколько обобщенная характеристика производителя - с помощью одного множества , трактуемого как множество его (оптимальных) производственных планов. На языке "затраты-выпуск" это множество можно определить следующим образом: , где f - производственная функция. Очевидно, .

С учетом всего вышесказанного, под математической моделью рынка будем понимать совокупность элементов:

где - пространство цен товаров, N - множество всех участников рынка (N содержит l+m элементов).

Без качественных потерь вместо (5.3.1), как модель рынка, можно рассматривать совокупность

Во-первых, вектор содержит цены как товаров конечного потребления, так и затрат. Здесь мы будем исходить из противоположной точки зрения - из изменчивости цен. Причем цены меняются не по желанию отдельных участников рынка, а исключительно под воздействием совокупного спроса и совокупного предложения. Поэтому одним из ключевых является вопрос: существуют ли такие цены, которые устраивают как потребителей, так и производителей?

Исходя из технических соображений, будем предполагать, что пространство цен P включает в себя нуль пространства , т.е. будем допускать существование нулевых цен.

Во-вторых, как уже говорилось выше, каждый участник рынка выступает в двух лицах: как покупатель и как продавец. Очевидно, число продавцов и покупателей для разных товаров будет разным. Поэтому числа и не следует ассоциировать с числом продавцов и покупателей.

В-третьих, доход каждого потребителя предполагается состоящим из двух компонент: 1) выручки от продажи принадлежащего ему начального запаса товаров (), 2) дохода, получаемого от его участия в прибыли производственного сектора (обозначим ), например, посредством приобретения ценных бумаг и других видов инвестиционной и трудовой деятельности. Таким образом, мы предполагаем, что

В модели Вальраса считается, что весь доход производственного сектора полностью распределяется между потребителями:

где , а скалярное произведение справа, с учетом структуры векторов , трактуется как прибыль всего производственного сектора. Заметим, что суммирование векторов осуществляется покомпонентно.

В-четвертых, функции спроса , и предложения , которые можно представить себе как решения соответствующих оптимизационных задач из глав III и IV, предполагаются векторными и множественнозначными. Например, для функции первое свойство означает, что , где - скалярная функция спроса на k-ый товар (см. (3.5.3)). Второе свойство означает, что функция каждому p ставит в соответствие не один вектор , а множество таких векторов, т.е. . Это имеет место, например, когда в соотношении (3.5.2), определяющем спрос, максимум достигается не только в одной точке.

В модели Вальраса понятия совокупных спроса и предложения формализуются следующим образом.

Определение 5.1. Функцией совокупного (рыночного) спроса называется множественнозначная функция

Функцией совокупного (рыночного) предложения называется множественнозначная функция

Конкретно, это есть сумма индивидуальных функций спроса потребителей. Определение же функции совокупного предложения требует дополнительного пояснения. С этой целью введем обозначения:

По определению, любой элемент множества Y можно представить вектором , где . Так как есть множество оптимальных планов производителя j, то компонентами вектора являются оптимальные объемы выпуска и затрат, и все они составляют решение одной и той же оптимизационной задачи. Таким образом, часть компонент вектора , как и векторов , отражает предложение готовых продуктов, а часть - спрос на первичные факторы. Поэтому вектор нельзя называть однозначно предложением. В то же время, вектор может быть интерпретирован как совокупное предложение, так как часть компонент вектора , соответствующая спросу, "компенсируется" вектором b.

Покажем, что для любого p и , т.е. областью изменения совокупных функций является то же самое пространство, что и для индивидуальных функций. Рассмотрим сначала двух потребителей. Для любого множество образуется смещением множества в направлении вектора x на длину этого вектора (рис. 5.4). Поэтому

и

Рассмотрим трех потребителей. Для любого множество образуется смещением множества в направлении вектора x на длину этого вектора. Поэтому и

Продолжая эти рассуждения, получаем

Точно так же устанавливается включение . Так как и потому , то множество b+Y образуется смещением множества Y в направлении вектора b на длину этого вектора. Поэтому .

Формализовав понятия функций совокупных спроса и предложения, модель рынка (5.3.1) мы можем представить совокупностью вида

Любой вектор называется совокупным спросом (соответствующим вектору цен p); любой вектор - совокупным предложением (соответствующим вектору цен p). Эти векторы являются (оптимальными) реакциями совокупного покупателя и совокупного продавца на установившийся на рынке вектор цен. Если при этом x > y, то на рынке возникает дефицит товаров, а при x < y появляются их излишки. Такие цены не могут считаться удовлетворительными, так как в одном случае ущемлены интересы покупателей, а в другом - продавцов. Очевидно, наилучшим вариантом для экономики является равенство x=y. Этот идеальный случай на практике не всегда имеет место. Поэтому целесообразно как-то его ослабить. В модели Вальраса допускается наиболее "гуманный" с точки зрения интересов потребителей вариант обобщения понятия экономического равновесия.

Определение 5.2. Набор векторов называется конкурентным равновесием на рынке (5.3.5), если ,

В этом случае p^* называется равновесным вектором цен.

По определению функций совокупных спроса и предложения, из включений (5.3.6) следует

т.е. совокупные спрос и предложение формируются как суммарные величины индивидуальных спросов потребителей и индивидуальных предложений производителей. Поэтому в развернутом виде условия равновесия (5.3.6)-(5.3.8) можно переписать так:

Экономическое содержание условий, определяющих конкурентное равновесие на рынке (5.3.5), таково. Условие (5.3.6) показывает, что на цены p^* каждый потребитель и каждый производитель реагирует наилучшим образом. Это наглядно видно из соотношений (5.3.9) и (5.3.10). Условие (5.3.7) отслеживает, чтобы совокупное предложение не было меньше совокупного спроса. Условие (5.3.8) требует, чтобы в стоимостном выражении совокупный спрос равнялся совокупному предложению. Условие (5.3.8) автоматически выполняется в том случае, если в (5.3.7) имеет место строгое равенство. В этом случае равновесие будет задано соотношениями:

т.е. нужность в условии (5.3.8) отпадает.

Предположим, что для некоторого товара в (5.3.7) имеет место строгое неравенство: . Тогда в стоимостном выражении получаем неравенство , не соответствующее условию (5.3.8). Величина называется излишком. Согласно закона предложения, в случае появления излишка цена товара должна быть снижена (см. §1.2 и рис. 5.5). Но это приведет к изменению "равновесной" цены . Как выйти из этого противоречия?

Очевидно,

Отсюда видно, для восстановления условия (5.3.8) нужно "ликвидировать" излишек. С учетом знака это возможно только при . Но тогда

т.е. товар k вообще исключается из обращения на рынке.

Обоснование справедливости (5.3.8) тем, что "поставляемый сверх имеющегося спроса товар получает нулевую цену" (см. [ 9, стр. 330]), экономически осмыслено, но не поддается адекватной формализации. Действительно, для фиксированного числа неравенство

несовместимо с равенством

.

Таким образом, формальный выход из рассматриваемой ситуации состоит в том, чтобы считать цену перепроизводимого товара равной нулю. Чисто теоретически этот прием состоятелен, так как не приводит в дальнейшем к противоречиям.

В то же время, следует признать отсутствие экономически осмысленного объяснения существования товара с нулевой ценой. Объявление такого товара "свободным" (см. [ 2, стр. 136]) представляется несостоятельным. Строго говоря, в экономике нет свободных товаров, любой побочный продукт может найти применение, т.е. имеет ненулевую цену. Трудно согласиться и с "хорошо известной экономистам модификацией закона спроса и предложения о существовании перепроизводимых товаров с нулевой ценой" (см. [ 9, стр. 323]), поскольку в случае перепроизводства "спрашиваемая" часть этого товара продается по ненулевой цене. Для экономики существование излишек так же плохо, как и существование дефицита. Все это говорит в пользу целесообразности определения равновесия в виде (5.3.13).

Итак, модель рынка по Вальрасу построена. Как видим, центральное место в ней занимает понятие конкурентного равновесия. Привлекательность равновесия как состояния рынка (и экономики в целом), заключается в возможности реализации всех произведенных товаров и в удовлетворении спроса всех потребителей. Процесс формирования рыночных цен условно можно сравнить с работой некоторого алгоритма (автомата), состоящего из четырех блоков (рис. 5.6). В первом блоке P формируется вектор цен. Информация о векторе p поступает в блоки D и S, в которых формируются соответственно множества D(p) и S(p), содержание которых, в свою очередь, передается в блок R. В блоке R осуществляется попарное сравнение элементов , . Если существует пара или пары (x,y), для которых выполняется условие x=y (или условия (5.3.7), (5.3.8)), то процесс заканчивается. В противном случае цены p отвергаются, о чем поступает сигнал в блок P, где формируются новые цены. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найден равновесный вектор цен.

Дата добавления: 2015-04-24