Моделирование экономики 8 страница

Утвердительный ответ на этот вопрос связан с разрешением двух важных проблем:

1. установление факта существования конкурентного равновесия в модели Вальраса;
2. разработка сходящейся к равновесной цене вычислительной процедуры (метода) формирования рыночных цен.

Существование равновесия в модели Вальраса не установлено. Причина заключается в уровне формализма этой модели - она весьма абстрактна. Конкретизируя определения составляющих ее элементов и уточняя их функциональные свойства, можно получить разные модификации модели Вальраса.

18. Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия.

Структурно модель Эрроу-Дебре весьма близка к модели Вальраса. От последней она отличается конкретизацией природы происхождения функций предложения и спроса, а также механизма образования дохода потребителя. Покажем это по порядку.

Для каждого производителя j введем множество , которое, в отличие от модели Вальраса, здесь будем трактовать как множество производственных планов (а не оптимальных планов), т.е. это есть множество n-мерных векторов , часть компонент которых описывает затраты, а другая часть - соответствующие этим затратам выпуски товаров. Компоненты, соответствующие затратам, как и в модели Вальраса, снабжаются отрицательными знаками. Поэтому скалярное произведение показывает прибыль, полученную производителем j в результате реализации плана . Отсюда оптимальный план , участвующий в определении совокупного предложения (см. (5.3.4) и (5.3.10)), определяется как решение задачи:

Оптимальное решение этой задачи обозначим через , а множество всех таких решений (множество оптимальных планов) - через . Если задача (5.4.1) имеет единственное решение, то .

Доход потребителя i складывается следующим образом. Вводится коэффициент , который показывает долю i -го потребителя в прибыли j -го производителя. Предполагается (как и в модели Вальраса), что прибыль каждого производителя делится между всеми потребителями полностью, т.е. для любого

Пользуясь коэффициентами , суммарные дивиденды , получаемые потребителем i от производственного сектора, можно представить как

где . Поэтому общий доход потребителя i при реализации производственных планов , вычисляется по формуле

Функция спроса потребителя конкретизируется следующим образом. Вводится множество допустимых векторов потребления , а предпочтение потребителя на этом множестве задается с помощью функции полезности . В результате вектор-функция спроса, как и в главе III, строится как решение задачи:

Оптимальное решение этой задачи обозначим через , а множество всех таких решений - через . Если задача (5.4.2) имеет единственное решение, то .

Таким образом, очерчены конкретные виды множеств в правых частях соотношений (5.3.3) и (5.3.4), определяющих функции совокупных спроса и предложения:

Модель (5.3.5), в которой функции и определены в виде (5.4.3) и (5.4.4), называется моделью Эрроу-Дебре, если выполнены следующие требования.
У-1. Множество компактно в и содержит нулевой вектор ().
У-2. Множество выпукло в .
У-3. Множество замкнуто и выпукло в и таково, что из для некоторого r, следует для всех ().
У-4. Функция полезности непрерывно дифференцируема на и строго вогнута ().
У-5. Функция обладает свойством ненасыщаемости ().
У-6. Существует , для которого .

Условие У-1, с учетом непрерывности функции прибыли, обеспечивает существование решения задачи (5.4.2). Условие У-2 допускает эффективность использования "смешанных" планов производства на уровне всего производственного сектора. Условия У-3 и У-4 имеют технический характер (определение вогнутости и ненасыщаемости функции полезности и их содержательная трактовка были приведены нами в §3.2). Условие У-6 требует наличия у каждого потребителя "существенного" начального запаса всех товаров. Оно считается достаточно жестким, но без него (или незначительного его ослабления) нельзя доказать существование конкурентного равновесия в модели Эрроу-Дебре (см. замечание после доказательства теоремы 5.2).

Эта одна из первых теорем существования была доказана авторами рассматриваемой модели в 1954 году, спустя несколько десятилетий после создания модели Вальраса.

Доказательство.

Пусть , а F - множественнозначное отображение, которое переводит каждую точку в некоторое подмножество множества X ().

Отображение F называется полунепрерывным сверху, если из соотношений , где , и , где , следует . Другими словами, для каждого открытого множества U, содержащего множество , можно найти такое число , что , как только (где - расстояние между точками x и ).

Непрерывное отображение всегда полунепрерывно сверху, а обратное неверно. Чтобы полунепрерывное сверху отображение было непрерывным, нужно, чтобы оно было одновременно полунепрерывным снизу, т.е. для каждого при существовали такие , что .

Отображение F называется ограниченным, если для любого множество F(x) является ограниченным, как подмножество евклидова пространства .

19. Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия.

Процесс последовательного приближения к равновесной цене называется регулированием цен. Кто и с какой целью регулирует цены? Ответ заключается в том, что, благодаря законам спроса и предложения, в условиях конкуренции рынок сам приспосабливает цены к вариациям спроса и предложения во времени. В §5.1 была обнаружена "геометрическая" картина такого приспособления. Здесь наша задача состоит в обнаружении аналитической формулы регулирования для численного вычисления равновесных цен.

Итеративный процесс поиска равновесных цен должен обладать свойством сходимости, т.е., в конечном счете, должен привести к искомым ценам с любой предзаданной точностью. В этом случае процесс регулирования цен (или собственно конкурентное равновесие) называется устойчивым.

Таким образом, задача регулирования цен преследует цель определения условий, заставляющих цены, как функций времени, сходиться к равновесным значениям. Математически эта задача сводится к нахождению условий устойчивости решений специально построенных рекуррентных по времени уравнений. Такое уравнение называется динамической моделью регулирования цен. Эта модель может быть как непрерывной, так и дискретной. В первом случае, на основе предположения о непрерывном изменении цен, модель выражается с помощью дифференциальных уравнений. Во втором случае предполагается дискретный характер изменения цен, т.е. фиксируется изменение цен в отдельные моменты времени (или через определенные промежутки времени). Поэтому модель регулирования цен имеет вид разностных уравнений. Непрерывные модели предпочтительны в теоретическом плане. Их преимущество состоит в возможности применения удобного аппарата дифференцирования. Мы будем рассматривать только дискретный случай, наиболее понятный с точки зрения практического восприятия.

Перейдем к конкретным построениям. Для определенности процесс регулирования рассмотрим в модели Эрроу-Дебре. Предварительно уточним некоторые предпосылки и ряд дополнительных сведений.

Во-первых, цены будем снабжать параметром времени t: - цена k -го товара в момент t.

Во-вторых, будем предполагать дискретное изменение времени, т.е. будем рассматривать отдельные моменты времени t₁,t₂,... Причем для упрощения формул будем считать, что . Это дает возможность вместо последовательности рассматривать последовательность моментов t,t+1,..., начиная с t = 0.

В-третьих, вместо пространства товаров будем рассматривать пространство Rⁿ⁺¹, где дополнительная n+1 -ая координата соответствует особому виду товара - "деньгам". Таким образом, размерность всех векторов спроса и предложения будет равна n+1. Вектор цен, соответственно, будет задан в пространстве . Причем дополнительная n+1 -ая компонента p₀ будет интерпретироваться как "цена денег".

Для некоторого вектора цен и соответствующих ему векторов совокупного спроса и совокупного предложения обозначим

Величина F(p) имеет смысл избыточного спроса при ценах p (противоположная величина имеет смысл избыточного предложения). Рассматривая эту величину для всех , мы можем говорить о функции избыточного спроса F, определенной на множестве P.

Для равновесного вектора цен имеем (см. (5.3.7), (5.3.8))

Если предположить все цены строго положительными, т.е. , , то равенство (5.5.3) будет иметь место только в случае строгого равенства в (5.5.2), т.е.

Так как это равенство понимается покомпонентно (, k = 1,...,n, где F_k - функция избыточного спроса для товара k), то условие (5.5.3) становится следствием равенства (5.5.4). Поэтому в случае положительных цен конкурентное равновесие определяется одним условием (5.5.4).

Функция F обычно предполагается положительно однородной нулевой степени, т.е. для любых и постоянного числа . Это свойство означает, что на функцию избыточного спроса изменение масштаба цен не влияет, а существенны лишь относительные цены (см. §3.5).

Рассмотрение функции избыточного спроса связано с ее применением в модели регулирования цен. В основе построения искомой формулы итеративного процесса вычисления равновесных цен лежит идея о том, что скорость изменения цен пропорциональна изменению величины избыточного спроса. Действительно, возрастание (убывание) функции избыточного спроса во времени равносильно более быстрому (медленному) росту спроса по сравнению с предложением (см. (5.5.1)), а это, согласно закона спроса, сопровождается увеличением (уменьшением) цен товаров. Сказанное математически можно отразить формулой

или в координатной форме

где - коэффициент пропорциональности, - функция избыточного спроса для товара k. Здесь мы предполагаем, ради простоты, что пропорциональность изменения цены и избыточного спроса по всем товарам одинакова (и равна числу ).

Из последнего уравнения по определению производной (см. (2.2.3)) получаем:

Отсюда для достаточно малых можно принять приблизительно

Принимая величину как "следующий" за t момент времени, для дискретного случая мы приходим к следующему закону изменения цен:

или в векторной форме:

Это есть рекуррентное уравнение, когда последующее (по времени) значение цены вычисляется с помощью предыдущего значения. Для его последовательного решения нужно иметь "начальное" условие. Им является значение цены в "начальный" момент времени t = 0, которое считается известным.

Для того, чтобы в уравнении (5.5.5) было учтено условие положительности цен, можно написать

Таким образом, динамика процесса регулирования цен описана.

Процесс регулирования можно проводить в нормированных ценах или без нормирования цен. В первом случае вектор нормируется с помощью какого-то выделенного товара (например, нулевого), и получается новый вектор , компоненты которого , , являются относительными ценами. В ненормированном процессе все товары являются равноправными. С математической точки зрения ненормированный процесс усложняется множественностью равновесных векторов цен, так как все точки луча () будут равновесными векторами цен.

Устойчивость конкурентного равновесия, т.е. сходимость итеративного процесса (5.5.6) к равновесной цене, можно изучать на двух уровнях - на уровне локальной устойчивости и на уровне глобальной устойчивости. Равновесие называется локально устойчивым, если итеративный процесс сходится при начальной точке p⁰, достаточно близкой к . Если устойчивость имеет место независимо от местонахождения начальной точки p⁰, то равновесие глобально устойчиво.

Одним из условий сходимости процесса (5.5.6) является так называемая строгая валовая зависимость. Говорят, что для ненормированного процесса регулирования цен имеет место строгая валовая зависимость, если для каждого k функция избыточного спроса F_k есть строго возрастающая функция цены . Экономический смысл этого условия состоит в том, что при повышении цены k-го товара и постоянстве других цен можно ожидать увеличения спроса на остальные (взаимозаменимые) товары.

Приводимая ниже теорема сходимости для уравнения (5.5.6) предполагает ненормированный процесс регулирования и содержит критерий глобальной устойчивости.

Теорема 5.3. Пусть - строго положительный равновесный вектор в модели Эрроу-Дебре. Пусть функции избыточного спроса F_k,k=0,1,...,n, обладают свойством строгой валовой зависимости. Тогда существует такое положительное число , что для всех система цен p(t), удовлетворяющая уравнению (5.5.6), сходится к равновесному вектору цен.

20. Планирование выпуска на уровне отраслей

Часто при экономическом планировании на уровне регионов или страны в целом возникает необходимость определения объема выпуска товаров, обеспечивающего заданный спрос населения и производственные нужды на эти товары при известной технологии. В предположении о линейности технологии (т.е. о прямой пропорциональности объема выпуска объемам затрат ресурсов) математической формализацией этой задачи является знаменитая модель "Затраты-выпуск", полученная в 1930 г. американским экономистом В. Леонтьевым. Модель Леонтьева является частным случаем модели Вальраса. С точки зрения этой общей модели равновесия классическая (исходная) модель Леонтьева имеет следующие особенности:

• рассматривается экономика, состоящая из "чистых" отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;
• взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);
• вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;
• вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;
• равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

Уравнение Леонтьева, как пример описательной модели экономики на уровне интуитивных рассуждений, было получено нами в §1.4 (см. Пример 1.1). Здесь мы приведем экономически обоснованную строгую аргументацию этой модели. Сначала рассмотрим наиболее упрощенный ее вариант.

В зависимости от цели исследования экономику можно изучать в различных разрезах - от уровня национальной экономики до уровня отдельных фирм и потребителей. Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде. Предполагается, что каждая отрасль является "чистой", т.е. выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Их не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации.

Вернемся к предпосылкам модели. Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.

Обозначим через n количество всех отраслей. Так как отрасли являются чистыми, индекс отрасли можно отождествить как с видом товара, так и с технологическим процессом.

Предположим, что на данном плановом периоде времени (например, на предстоящий год) известен конечный спрос на все n товаров. Пусть технология производства предписывает для выпуска одной единицы i -го товара количество товара вида 1, количество товара вида 2 и т.д., количество товара вида n (). Обозначим через объем производства отрасли i на всем плановом периоде (валовый выпуск). Тогда величина показывает объем продукции отрасли j, необходимый для функционирования отрасли i с планом выпуска , а величина

- суммарное потребление продукции отрасли j в производственном секторе.

Наглядную картину межотраслевых связей при плане выпуска и плане конечного потребления показывает схема межотраслевого баланса (рис. 6.1).

Балансовый характер этой схемы заключается в том, что элементы последних трех столбцов в каждой строке должны удовлетворять равенству

Левую часть равенства (6.1.1) можно трактовать как итоговый (производственный плюс конечный) спрос на продукцию отрасли j (на j -ый товар), а правую - как предложение j -го товара. Поэтому, во-первых, уравнения (6.1.1) отражают общее равновесие (т.е. равновесие по всем видам товаров) в экономике. Во-вторых, система (6.1.1) показывает самодостаточность производства - для выпуска любого товара достаточно иметь воспроизведенную продукцию рассматриваемых отраслей. В-третьих, из уравнений (6.1.1) следует, что весь валовый выпуск полностью распределяется между потребителями. Последние два обстоятельства говорят о замкнутости экономики - нет поступления извне, и продукция не экспортируется.

Таким образом, схема межотраслевого баланса задает те условия, когда экономика будет находиться в равновесном состоянии. А именно, при известном спросе и известной постоянной технологии вектор валового выпуска должен вычисляться как решение системы n линейных уравнений (6.1.1).

Наиболее общая, чем изображенная на рис. 6.1, схема межотраслевого баланса, которая используется на практике, содержит дополнительные столбики учета невоспроизводимых факторов (таких, как каменный уголь), импортируемых ресурсов, а также резервов на начало планируемого периода. Эти столбики можно отнести к дополнительным (фиктивным) отраслям n+1,...,n+k, для которых при . В модели (6.1.1) можно учитывать и экспорт товаров и инвестирование, фиксируя их объемы в столбике конечного потребления по видам товаров, т.е. рассматривая вместо величины .

В целом межотраслевой баланс содержит два раздела: формирование производственных ресурсов и использование результатов производства на производственное и конечное потребление. В этом случае говорят о межотраслевом балансе в натуральном выражении.

21. Модель Леонтьева "Затраты-выпуск".

Подставляя технологические коэффициенты в

для каждой отрасли получаем балансовое соотношение

С помощью технологической матрицы

эту систему уравнений можно написать в векторной форме:

Уравнение (6.2.1), где A - постоянная технологическая матрица, - известный вектор спроса, - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение Ax как затраты, эту систему часто называют моделью "Затраты-выпуск".

Дата добавления: 2015-04-24