Модифицированный метод Эйлера. В рассмотренном явном методе Эйлера для снижения погрешности расчетов требуется уменьшение величины шага интегрирования h

В рассмотренном явном методе Эйлера для снижения погрешности расчетов требуется уменьшение величины шага интегрирования h, что приводит к увеличению процесса решения задачи (иначе времени интегрирования).

Хотя тангенс наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен y′(t ₀), он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке t ₀ + h наклон касательной уже те таков, каким он был в точке t ₀. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной во всем интервале h в результаты вычислений вносится погрешность (см. рис.). Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив алгоритм аппроксимации производной. Это можно сделать, например, используя среднее значение производной в начале и конце интервала. Именно это положено в основу модифицированного метода Эйлера (неявного метода Эйлера), алгоритм которого включает выполнение следующих шагов (см. рис 2)

1. Сначала вычисляется значение функции в следующей точке по явному методу Эйлера:

y’_n+1 = y _n + h·f(t _n, y _n),

2. Полученное значение используется для приближенного вычисления производной в конце интервала f(t _n+1, y’_n+1).

3. Вычисляется среднее значение производной между ее значениями в начале и конце интервала с последующей подстановкой ее в обычную формулу Эйлера для получения более точного значения y _n+1

y _n+1 = y _n + h·[f(t _n, y _n) + f(t _n+1, y’_n+1)]/2.

Дата добавления: 2015-04-24