Вопрос №16. Определение операций сложения комплексных чисел, умножения комплексных чисел. Свойства этих операций (только формулировки). Вычисление квадрата мнимой единицы

A

B

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их вещественные и мнимые части: Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю вещественная и мнимая части. Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, вещественные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел. Если любое вещественное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно вещественная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться вещественной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются вещественные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Мнимая единица — число, квадрат которого равен отрицательной единице. Обозначается как латинская i или j. Она позволяет расширить поле действительных чисел до поля комплексных чисел.

Степени i:

Операции сложения и умножения комплексых чисел осущ. Так,как если бы мнимая единица I была переменной(а комплексные числа-многочленами от этой переменной),при этом i²= -1

Суммой комплексных чисел a+bi и c+di наз. комплексное число(a+c)+(b+d)i.Таким образом,при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Св-ва.

Коммуникативность.z₁+z₂=z₂+z

Ассоциативность. (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃)

Произведением комплексных чисел a+bi и c+di наз. комплексное число:(ac-bd)+(ad+bc)i.Это определение вытекает из 2-ух требований:1)числа a+bi и с+di должны перемножаться,как алгебраические двучлены,2)число i обладает основным св-вом i²= -1

Коммуникативность. z₁*z₂=z₂*z₁

Ассоциативность. (z₁*z₂)*z₃=z₁*(z₂*z₃)

*Дистрибутивность. (z₁+z₂)z₃=z₁z₂+z₂z₃

Мнимая единица- число,квадрат кот. равен -1(i²= -1)

Дата добавления: 2015-04-24