Первісна функції. Невизначений інтеграл

Інтегральне числення функцій однієї змінної

Похідні вищих порядків

Якщо похідну функції , диференційованої в точці х, розглядати як функцію цієї точки, то отримаємо функцію . Похідною п -го порядку функції f будемо називати похідну її похідної п – 1 порядку:

.

Якщо функція має похідні до порядку в околі точки , то її приріст у цій точці можна записати за формулою Тейлора

,

де . Формула Тейлора дає змогу замінити знаходження значення достатню кількість раз диференційовної функ­ції обчисленням значення відповідного їй многочлена. Зокрема для

.

Це дає підстави стверджувати, що функція f буде опуклою вниз (графік функції лежить вище від дотичної в точці ), якщо , і опуклою вгору (графік функції лежить нижче від дотичної), якщо .

Функцію називають первісною до функції на множині Х, якщо на цій множині.

Оскільки , де С­ — довільна стала, то будь-яка функція також є первісною до функції f.

Легко бачити, що будь-які дві первісні функції f відрізняються лише на константу. Справді, якщо і , то за формулою скінчених приростів Лагранжа , і тому . Отже, .

Сукупність всіх первісних функції називають невизначеним інтегралом функції f і позначають . Очевидно .

Невизначений інтеграл має такі властивості.

1. .	4. .
2. .	5. .
3.

Нижче наведено таблицю основних невизначених інтегралів.

Для обчислення невизначеного інтеграла використовують формулу заміни змінної

та формулу інтегрування частинами

.

Розглянемо приклади.

1.

.

2.

.

3. .

Дата добавления: 2015-05-23