Та молекулярної фізики 2 страница

Вимірювальна установка складається з маховика з віссю (для зменшення тертя вісь знаходиться в шариковому підшипнику). На осі маховика є шків для намотки нитки з тягарем на кінці. На маховикові для установки і закріплення досліджуваних тіл є також штирі і гвинт для затискування тіл.

Нехай тягар знаходиться на висоті h над поверхнею підлоги. Якщо його відпустити, то, опускаючись, він витратить свою потенціальну енергію mgh на виконання роботи проти сил опору F, на надання кінетичної енергії обертовій системі, частина її перейде в кінетичну енергію самого тягаря -

mgh = Fh + I ω² / 2 + m v² / 2, (5)

де Fh - робота по подоланню сил опору: I ω² / 2 - кінетична енергія обертової системи; mv²/2 - кінетична енергія тягaря, що опускається. Це рівняння покладено в основу вимірювань момента інерції.

Вимірювання на установці можуть бути проведені двома методами.

Метод 1. Після опускання тягаря його кінетична енергія mv²/2 вважається малою порівняно з іншими складовими (5); обертання маховика продовжується, і за рахунок енергії маховика тягар підіймається на висоту h₁. Закон збереження енергії для опускання і підйому в таких умовах записується відповідно у вигляді mgh = Fh + I ω² / 2; I ω² / 2= Fh₁ + mgh₁. (6)

З цих рівнянь виключається сила опору F, а кутова швидкість за законами рівноприскореного руху може бути подана виразом ω = 2h/rt, де r - радіус маховика. Для момента інерції системи остаточно одержуємо

I = , (7)

Цей метод можна застосувати, якщо задовольняється умова gt² / 2h ≥ 1.

Метод 2. Може бути застосований без останнього обмеження методу 1. Застосовується рівняння (5). Після опускання тягаря нитка сприсає зі штифта на шківі, котрий продовжує сповільнено обертатися деякий час t₁ до повної зупинки. Закон збереження енергії в цьому випадку має вигляд

I ω² / 2= FL, (8)

де L = r φ - шлях точок на колі шківа при повороті на кут φ до повної зупинки.

З (5) та (8) з урахуванням того, що v = ω r та що при рівноприскореному русі ω = 2h/rt і L = ht₁/t, одержуємо розрахункову формулу для момента інерції системи:

I = mr^{2 ( - 1).} (9)

В обох методах вимірювання проводяться в однаковій послідовності: 1) Визначається момент інерції маховика I₀ за формулам: (7) або (9); 2) На маховику закріплюється досліджуване тіло і в такий же спосіб визначається сумарний момент інерції I₁; 3) Момент інерції досліджуваного тіла розраховується як різниця I = I₁ – I₀.

Порядок виконання роботи:

Метод 1.

1. Повертаючи маховик без досліджуваних тіл, намотують нитку на барабан і підіймають тягар на висоту h від підлоги.

2. Надають тягареві можливість опускатись і вимірюють проміжок часу t до удару його об підлогу.

3. Вимірюють висоту h₁, на яку підійметься тягар за рахунок енергії обертального руху маховика. Вимірювання роблять тричі і в розрахунках користуються середніми величинам.

4. Вимірюють радіус шківа і за (7) розраховують момент інерції I₀.

5. Міцно затискують досліджуване тіло на маховику і повторюють дії пп.1-4, визначаючи сумарний момент інерції I₁.

6. Обчислюють момент інерції тіла I = I₁ – I₀. Результати вимірювань та розрахунків заносять до таблиці 1.

Таблиця 1

m	R	h	Маховик	Маховик з тілом	І
t	h1	I0	t	h1	I1

Метод 2.

1. Тягар на нитці підвішують кільцем за штифт шківа і обертанням маховика підіймають до висоти h від підлоги та вимірюють час його опускання t.

2. Надають тягарю можливості опускатися і вимірюють час опускання t.

3. Утримують секундомір ввімкненим та вимірюють час до повної зупинки маховика t₁ і визначають час вільного вибігу маховика як t₁ = t΄ - t.

4. За формулою (9) обчислюють момент інерції маховика I₀.

5. Міцно закріплюють досліджуване тіло на маховику і повторюють дії по пп.1-4 для тієї ж висоти h та визначають момент інерції маховика з тілом I₁. Момент інерції тіла розраховують за формулою I = I₁- I₀.

Результати вимірів та розрахунків подають в таблиці 2.

Таблиця 2

m	r	h	Маховик	Маховик з тілом	І
t	h1	I0	t	h1	I1

Дайте відповідь на запитання:

1. Який з двох методів вимірювань точніший?

2. Які обмеження існують в першому методі?

3. Чи можна застосувати ці методи у випадку несиметричних тіл і чому?

Лабораторна робота № 7.

Дослідження непружного удару за допомогою балістичного маятника.

Приладдя: установка з маятником і пневморушницею, металічна лінійка з масштабом до 1мм, технічні терези.

Мета роботи: засвоїти застосування законів збереження імпульсу і енергії.

Коротка теорія та метод вимірювання

При непружному зіткненні тіла незворотньо деформуються і після зіткнення рухаються як одне ціле.

Короткочасне зіткнення тіл - удар - називають центральним, якщо тіла до зіткнення рухаються по прямій, що з’єднує їх центри мас. Такий удар ми розглянемо, тому що після зіткнення тіл, що поступально рухаються, не виникає обертальний рух.

Нехай до зіткнення тіло масою m₁ рухалося зі швидкістю v₁, а тіло з масою m₂ - зі швидкістю v₂. Після непружного удару тіла m₁ і m₂ рухаються як одне ціле зі швидкістю u.

Згідно з законом збереження імпульсу обчислюється:

m₁ v₁ + m₂ v₂ = (m₁ + m₂) u (1)

З (1) знаходимо:

u = (m₁ v₁ + m₂ v₂ ) / (m₁ + m₂). (2)

Закон збереження енергії для цього випадку слід записувати у такому вигляді:

m₁ v₁²/2 + m₂ v₂²/ 2 = (m₁ + m₂) u² / 2 + A, (3)

де А – частина енергії, що витратилась на непружну деформацію тіл і частково перейшла у внутрішню енергію тіл, яку ми будемо називати роботою непружної деформації. Підставляючи u з (2) в (3), отримаєм:

A = (v₁- v₂)² (4)

- найбільш загальне співвідношення для роботи непружної деформації.

В основу даної роботи покладено так званий метод балістичного маятника, що представляє собою масивну головку у вигляді циліндра, що підвішений на тонкій спиці. Внутрішня частина головки заповнена пластиліном, спиця з’єднана з маточницею, що містить підшипник. При повороті головки зі спицею навколо осі обертання тим самим забезпечується мінімальне тертя.

Перед пострілом з пневматичної рушниці головка знаходиться в стані спокою (v₂ = 0). Позначимо швидкість кулі v₁ = v. Тоді з (4) випливає:

A = W₁ , (5)

де W₁ = m₁v²/2 - кінетична енергія кулі. Кінетична енергія маятника при відхиленні його в крайне положення повністю переходить в потенціальну енергію (рис.1):

(m₁ + m₂) u² / 2 = (m₁ + m₂) g h, (6)

де h - висота підняття головки маятника дорівнює h = R(1 – cosα), де R - відстань від осі обертання до її центру ваги.

Порядок виконання роботи:

1. Відвести маятник вправо із проміжка між щитками, зняти зі спиці головку маятника і визначити її масу m₂ на технічних терезах з точністю до 1 г.

2. Надіти головку на спицю, виміряти довжину маятника R і опустити його в положення рівноваги.

3. Зарядити рушницю, зробити постріл і виміряти по середній вертикальній рисці маятника найбільший кут відхилення від положення рівноваги з точністю до 5^/ (одна поділка). Зам’яти в пластиліні отвір від кулі.

4. Виконати пп. 2-3 для другої і третьої кулі.

5. Розрахувати швидкість кулі, її кінетичну енергію і роботу деформації A. Маса кулі m₂ = 0,286 г.

6. Знайти довірчий інтервал Δv визначення швидкості кулі для надійності 0,7 і подати швидкість кулі у вигляді

v = < v > ± v

7. Результати вимірів і розрахунків представити в таблиці.

Результати вимірів і розрахунків швидкості кулі

№	m2	R	α	v1	Δv1	W1	A
						- - -	- - -
Середні значення

Дайте відповіді на запитання:

1. Чи можна в розрахунках нехтувати роботою деформації?

4. Що слід зробити, щоб використати установку для більших значень швидкості і маси кулі?

Лабораторна робота № 8.

Дослідження пружного удару куль.

Приладдя: Установка для вимірювань з двома парами куль і градусною шкалою, лінійка.

Мета роботи: засвоїти метод дослідження частково пружного удару.

Коротка теорія і метод вимірювань

При ударі тіл можливі два граничні випадки: кінетична енергія тіл після удару, дорівнює іі ж значенню, до удару (пружний удар) і після удару тіла рухаються як одне ціле (непружний удар). В першому випадку в момент удару відбувається деформація тіла, частина кінетичної енергії тіла переходить в потенціальну енергію пружної деформації. Після удару відбувається повне відновлення форми тіла, потенціальна енергія пружної деформації повністю переходить в кінетичну енергію. В другому випадку не вся початкова кінетична енергія тіл в момент удару переходить в енергію пружної деформації, частина її переходить у внутрішню енергію тіл (внаслідок чого вони нагріваються), і після удару не відбувається відновлення форми тіл. Кінетична енергія після удару виявляється меншою, ніж до удару. Між цими двома граничними випадками удару лежать частково пружний і частково непружний удари.

Ми будемо розглядати центральний удар тіл, коли початкові швидкості тіл спрямовані вздовж прямої, що з’єднує центри мас тіл. При такому ударі не відбувається обертання тіл після удару. В таких випадках діє закон збереження імпульсу системи:

m₁v₁+ m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂, (1)

де m₁ і m₂ - маси тіл; v₁і v₂ - швидкості тіл до удару; u₁ i u₂ - швидкості тіл після удару. При непружному ударі u₁ = u₂.

Закон збереження енергії для тіл, що стикаються, в загальном випадку має вигляд:

m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 = m₁u₁²/2 + m₂u₂²/2 + A, (2)

де A - частина енергії, що витрачається на невідновлювану деформацію тіл і переходить у внутрішню енергію тіл. Для стислості називатимемо іі роботою непружної деформації.

Якщо A =0, то удар - пружний. За величиною роботи А оцінюється міра “непружності” удару за Ньотоном, як відношення швидкостей тіл після удару і до удару:

k = u / v, (3)

В даній роботі вивчається центральний (прямий) удар двох стальних куль. Кулі відхиляються від положення рівноваги на однакові кути і відпускаються. В момент удару кулі проходять через положення рівноваги, так що швидкість їх до удару визначаться висотою підняття h₁ іх над положенням рівноваги. Після часткового пружного удару кулі підіймуться на меншу висоту, тому що частина енергії втрачається.

До удару швидкості куль однакові і рівні v = , після удару швидкості куль теж однакові, але менші, тому вони піднімуться на меншу висоту h₂ таку, що виконується рівність u = . Коефіцієнт відновлення:

k = (4)

через кути відхилень куль (рис.1) може бути поданий як:

k = (5)

де α₁ -початковий кут відхилення після зіткнення. α ₂ – кут відхилення після

де корінь степеня 2n.

Робота ж деформації при цьому подається виразом

A = (2mgh₁ – 2mgh_n)/n = 2mgR (cosα_n – cos α₁)/n (6)

де m - маса кулі; g - прискорення вільного падіння.

Порядок виконання роботи:

1. Перевірити однаковість довжин ниток, на яких висять кулі, і при необхідності відрегулювати їх.

2. Для вибраної пари куль зробити пробні удари куль, відхиляючи їх на однакові кути. При відліку кутів у відхилення ввести корекцію на положення куль при контакті.

3. Виконати вимірювання: відхилити кулі на 10˚ і відпустити їх, помітити найбільші кути відхилення після удару. Якщо різниця не перевершує 1˚, за відлік взяти середнє значення. При більшій різниці дослід повторити.

4. Дати кулям зіткнутись 8,16,32,….. рази і зафіксувати максимальне відхилення після вказаного числа зіткнень.

5. Розрахувати k і A за (5) і (6).

6. Провести ще два досліди для двох інших початкових кутів відхилення і за (5) і (6) обчислити k і A. Довірчий інтервал розрахувати для надійності 0,7. Результати занести до таблиці:

α	β	R	cos α1	cos αn	k	Δk	A
0˚ 13˚ 15˚
Cередні значення

Дайте відповідь на запитання:

1. Чи можна змінити коефіцієнт відновлення?

2. Як вплинуть на точність вимірювань неоднакові довжини підвісів куль?

3. Як впливає на точність вимірювань дотик ниткою до шкали?

Лабораторна робота № 9.

Дослідження відношення маси тяжіння до маси інерції.

Прилади та приладдя: відцентрова машина з двома тягарями та градусною шкалою, тахометром і лабораторним трансформатором.

Мета роботи: поглибити поняття маси як міри інертності та міри тяжіння тіл.

Коротка теорія та метод дослідження

В інерціальних системах координат точно дотримується ІІ закон Ньютона в формі:

a =F/ m, (1)

та закон тяжіння:

F_т = γ m_т M_т / R², (2)

де F -сила, яка діючи на тіло, надає йому прискорення а. При цьому, як видно з (1), чим більша маса m тіла тим меншого прискорення набуває тіло. Тобто у даному випадку маса характеризує інерційні властивості тіла, є його мірою інерції (інертною масою). Згідно з законом всесвітнього тяжіння:

F_т = γ m_т M_т / R², (3)

де: F_т – сила тяжіння, γ - гравітаційна стала, R відстань між тілами; m_т , M_т - маси тяжіння. У цьому випадку маса тіла m_т характеризує його властивість притягуватись до іншого (наприклад до Землі). Таким чином маси m_т і m виражають різні властивості тіла і тому в принципі можуть бути нерівні і непропорційні. Тому й виникає потреба у порівнянні цих мас.

Для цього розглянемо проявлення сил (1) та (2) в двох системах – інерціальній та неінерціальній, що рухається з прискоренням відносно першої. Хай інерціальна система координат зв’язана з поверхнею Землі, а неінерціальна - з вагоном, що рухається по закругленню радіуса r. При русі вагона зі швидкістю v підвішене до його стелі тіло відхилиться від вертикалі на деякий кут α (рис. 1). В неінерціальній системі координат це відхилення зумовлено дією доцентрової сили F = m a = mv² / r, яка діє через підвіс і надає тілу прискорення, примушуючи його рухатися по колу. В неінерціальній системі вагона спостерігач, не знаючи нічого про рух вагона, робить висновок про те, що причиною відхилення є деяка горизонтальна сила інерції, протилежна доцентровій:

F_i = mv² / r. (3)

де h - висота підняття головки маятника дорівнює h = R(1 – cosα), де R - відстань від осі обертання до її центру ваги.

F

Досліди, що виконуються із все зростаючою точністю, показують, що відношення цих мас відрізняється від одиниці в одинадцятому знакові після дробової коми. Це серйозна підстава вважати, що m і m_т є проявленням однієї і тієї ж величини. Ця обставина була використана А. Ейнштейном як одне із обгрунтувань розробки теорії тяжіння в загальній теорії відносності.

Завдання даної лабораторної роботи є перевірка рівності m/m_т=1 на відцентровій машині з двома тілами однакової маси.

При обертанні ротора на тіло діє відцентрова сила інерції -

F = mv² / r = ω² r, (5)

де кутову швидкість ω ми виразимо через число обертів n ротора, за хвилину

ω = 2πn / 60 = πn /30 (6)

З рис. 1 випливає, що

r = L sin α (7)

Підставляючи (6) і (7) в (5), одержимо:

F = m π² n² L sin (α) / 900 (8)

Знайдемо відношення сил (4) і (9):

На рис. 1 видно, що це відношення дорівнює ctg α, тому

k = (9)

Виміріючи довжину підвісу L до центру тіл, число обертів n і кут відхилення α, за (9) можна обчислити відношення інерційної і тяжіючої мас.

Порядок виконання роботи:

1. Познайомитися з установкою, градусною шкалою, зі шкалою тахометра.

2. Виміряти довжину підвісу L до центру тіл.

3. Опустити тягарі і стрілки в нижнє положення, ввімкнути автотрансформатор в мережу і поступово підвищуючи напругу, надати роторові обертання, при якому стрілки підіймуться на 35-50˚.

4. Дочекавшись рівномірного обертання ротора, помітити показання тахометра і вимкнути мережу. Після повної зупинки ротора записати кути відхилення усіх чотирьох стрілок з точністью до 30^/ і занести їх до таблиці.

5. Виконати вимірювання за пп. 3-4 ще два рази, кожний раз трохи збільшуючи число обертів.

6. Для кожного вимірювання визначити середній по 4 –х відліках кут α і за (9) обчислити k.

7. Знайти довірчий інтервал визначення k для надійності 0,7.

8. Результати вимірювань і розрахунків записати в таблиці.

Кінцевий результат записати у вигляді

k = < k > ± Δk.

Подати приклад розрахунків у таблиці:

№	L	α1	α2	α3	α4	αcр	n	k	Δ k
С е р е д н і з н а ч е н н я

Дайте відповіді на запитання:

1. Відтворіть рис. 1 за описанням його в тексті теорії.

2. Чи є інерціальною система, зв’язана з поверхнею Землі?

3. Необхідна умова для повороту велосипеда, вагона, машин, що рухаються. Що потрібно, аби всі вони не перекинулися на повороті?

Лабораторна робота № 10.

Вивчення гармонічних коливань на прикладі математичного маятника.

Прилади та приладдя: Установка з маятником і градусною шкалою, лінійка, секундомір.

Мета роботи: вивчення основних законів гармонічного коливання.

Коротка теорія і метод вимірювання

Гармонічними називають коливання тіла, близьке до положення рівноваги під дією сили, пропорційної зміщенню тіла з положення рівноваги і направленої до положення рівноваги

F = - cx, (1)

де c - коефіцієнт пружної (квазіпружної) сили.

Знак мінус вказує на протилежність x і F. Якщо сила F є єдина прикладена до тіла, то вона спричинить його прискорення а і згідно з ІІ законом Ньютона

F = m a = m d²x /d t², (2)

де m - маса тіла; d²x/dt² - повторна (друга) похідна від зміщення за часом - прискорення тіла.

Із співвідношень (1) і (2) одержуємо рівняння, яке називають диференціальним рівнянням гармонічного коливання:

m d²x/d t² = - cx, (3)

розв’язком якого є

x = A sin (ω t + φ), (4)

де: A - амплітуда - максимальне відхилення від положення рівноваги, ω t + φ -фаза коливання; φ - початкова фаза коливання, що відповідає моменту часу t = 0; ω - кругова або циклічна частота коливань, що дорівнює

ω = (5)

Найбільш простою наближеною моделлю гармонічного коливання може служити рух математичного маятника (рис.1), початково відхиленого від положення рівноваги на деякий невеликий кут (α ≈ 5˚). Діюча на матеріальну точку сила тяжіння - P = mg розкладається на дві взаємно перпендикулярні складові. Складова F₁ і сила натягу нитки створюють доцентрове прискорення, а друга складова F викликає дотичне прискорення точки, що рухається по колу. За подібністю відповідних трикутників визначаємо:

F = P x / l, (6)

де l довжина нитки.

При малих кутах α можна знехтувати відхиленням траєкторії від прямої і вважати, що дотичне прискорення дорівнює d²x/dt². Тоді виявляється справедливим (1) і, випливаючі з нього, (3) і (4). При цьому в ролі коефіцієнта пружної сили виступає відношення:

c = P / l, (7)

що називається коєфіціентом квазіпружної сили, тому що сила F в (4), звичайно ж, не є пружною, хоч і схожа з нею.

Підставляючи k із (7) в (5), одержуємо:

ω = (8)

Розглянемо коливання (4). Зміщення з положення рівноваги х періодичне в часі, і це відображується функцією синус, яка має період 2π. Зміні фази коливання на 2π відповідає найменший проміжок часу, через який повторюється процес коливання (період коливання). Якщо позначити період коливання T, то виявляється що T ω = 2π/Т, звідки:

T = 2π / ω (9)

що у випадку математичного маятника виглядає як

T = 2π (10)

Отже, при гармонічних коливаннях період коливань математичного маятника, як це випливає з (10), не залежить від амплітуди коливань та маси і визначається довжиною маятника та прискорення вільного падіння тіла.

За відомими значеннями l і g з (8) та (10) можна розрахувати циклічну частоту і період коливань. З другого боку, період коливань нескладно визначити експериментально, а по ньому розрахувати за (9) циклічну частоту коливань.

В роботі використовується модель математичного маятника у вигляді металевої кульки, підвищеної на довгій нитці. Вивчається не тільки гармонічні, але й ангармонічні коливання, коли кут відхилення перевершує допустимі для гармонічних коливань значення в 3-4 рази.

Порядок виконання роботи:

1. Ознайомитися з установкою виміряти довжину маятника l (від центра кульки). За формулою (8) обчислити теоретичне значення циклічної частоти ω, а за (10) - період T.

2. Відхилити маятник на α = 4-6˚ і, відпустити його, виміряти секундоміром час Δt здійснення 50 коливань. Обчислити період коливань T=Δt /50. За знайденим T за співвідношенням (9) обчислити ω. Визначити амплітуду коливань A з трикутника (рис.1):

A = x_max = l sin α_max

За знайденими величинами написати рівняння (4) при φ = π /2.

3. Повторити дії п.2 для α₂ = 12-15˚ та для α₃ =18-20 ˚.

4. Оцінити для кожного α відхилення одержаних з дослідів значень ω від їх теоретичного значення.

Дата добавления: 2015-05-24