Теоретичні відомості. Дослідження прецесії гіроскопа та визначення його моменту інерції

Дослідження прецесії гіроскопа та визначення його моменту інерції

Мета роботи: визначити момент інерції гіроскопа

Гіроскопом називається тверде тіло з великим моментом інерції відносно осі симетрії. Теорія руху гіроскопа ґрунтується на рівнянні моментів:

, (1)

де ‑ момент імпульсу, ‑ момент сили.

Нехай на вісь гіроскопа, який обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо осі симетрії, почала діяти зовнішня сила , момент якої відносно осі обертання дорівнює . Припустимо, що під дією цього зовнішнього моменту вісь гіроскопа повернулася на нескінченно малий кут і внаслідок цього момент імпульсу змінився на (зміна настала внаслідок зміни напрямку вектора без зміни його модуля (рис. 1)).

Рис. 1. Зміна моменту імпульсу гіроскопа.

Згідно з рівнянням моментів , тобто напрям збігається з напрямом моменту сили . Отже, поворот навколо осі , перпендикулярної до площини рисунка, відбувається під дією моменту сили, напрям вектора якого паралельний до напряму вектора . Отже під час дії на гіроскоп моменту сили вектор кутової швидкості обертання гіроскопа повертається в напрямі до збігання з напрямом вектора , виконуючи таким чином прецесійний рух. Кутову швидкість прецесії можна визначити з формули, яка зв’язує , і :

.

Продиференціюємо цей вираз за часом: , звідки з урахуванням (1) одержимо:

. (2)

Напрями векторів , і пов’язані співвідношенням:

. (3)

Останнє співвідношення можна отримати з формули Пуансо, яка стверджує: якщо якийсь вектор (у нашому випадку його роль відіграє вектор ) обертається з кутовою швидкістю , не змінюючи свого значення, то .

Якщо перпендикулярний до , то , або

. (4)

Ця формула виражає закон вимушеної процесії гіроскопа.

У нашому випадку:

, (5)

де ‑ маса тягарця, ‑ прискорення вільного падіння, ‑ плече сили , яка діє на вісь гіроскопа.

Кутову швидкість прецесії можна одержати, вимірявши час , протягом якого гіроскоп повертається на кут радіанів внаслідок прецесійного руху. Тоді

. (6)

Підставивши формули (5) і (6) у вираз (4), та врахувавши, що , одержимо робочу формулу для визначення моменту інерції гіроскопа:

. (7)

Перевівши радіани в градуси, а кутову швидкість – у частоту обертання гіроскопа, одержимо робочу формулу у величинах, які безпосередньо вимірюємо:

. (8)

На основі з чотирма ніжками, висоту яких можна змінювати (вирівнювати установку), закріплені блок керування та колонка (рис. 2).

Рис. 2. Схема установки.

До колонки прикріплений кронштейн, на якому у вилці змонтовано гіроскоп з електродвигуном та фотоелектричним датчиком для вимірювання кута повороту гіроскопа в горизонтальній площині. Гіроскоп з електроприводом та вилкою може обертатися навколо вертикальної осі, а гіроскоп з електроприводом – навколо горизонтальної, яка проходить через вилку. На валу електропривода закріплений масивний металевий диск, захищений прозорим екраном . Диск має прорізи, через які світло потрапляє на фотоелектричний датчик, імпульси якого дають інформацію про швидкість обертання гіроскопа. До корпусу електропривода прикріплений важіль з міліметровою шкалою. Уздовж важеля можна переміщуватися і закріплюватися тягарець , яким можна зрівноважувати гіроскоп або прикладати до нього різні моменти зовнішніх сил.

На основі установки розміщений також блок живлення електропривода гіроскопа та вимірювання параметрів руху. На передній панелі блока є кнопки „Сеть”, „Сброс”, „Стоп”, ручка потенціометра, за допомогою якої вмикають напругу живлення електропривода гіроскопа та змінюють швидкість його обертання, покажчик швидкості обертання гіроскопа, цифровий індикатор кута повороту гіроскопа та мілісекундомір.

Дата добавления: 2015-05-24