Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Ответы к упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ

Исследовать на экстремум следующие функции:

2.82. f(x) = ln(1- );

2.83. f(x) = ;

2.84. f(x) = ;

2.85. f(x) = x - ln(1+ ).

2.86. f(x) = ;

2.87. f(x) = ;

2.88. f(x) = .

2.89.

2.90.

2.91.

2.92.

2.93.

2.82. Точка максимума , f( 0 ) = 0; 2.83. Точка максимума = 0.5, f( 0.5 ) =24.25, точка минимума =3, f( 3 ) = -154; 2.84. Точка максимума =1.5, f( 1.5 ) = 0.168; 2.85. Функция монотонно возрастает, экстремумов нет; 2.86. Точка максимума =0, f( 0 ) =1, точки минимума =2, f( 2 ) =1, = -2, f( -2 ) =1; 2.87. Точка максимума =1, f( 1 ) =1, точка минимума = -1, f( -1 ) = -1; 2.88. Точка минимума = , f( ) = . 2.89. 2.90. 2.91. экстремумов нет. 2.92. . 2.93.

Функция f(x), определенная и непрерывная на промежутке [ a, b ], называется выпуклой (вниз), если для любых точек , [ a, b ] и числа , 0 1 выполняется неравенство

.

Функция f(x), определенная и непрерывная на промежутке [ a, b ], называется вогнутой (выпуклой вверх), если для любых точек , [ a, b ] и числа , 0 1 выполняется неравенство

.

Приведенные определения имеют вполне определенный геометрический смысл. Выпуклая функция характеризуется тем, что все точки любой дуги ее графика лежат под соответствующей хордой или на ней (рис. 2.11). В случае вогнутой функции точки любой дуги графика лежат над хордой или на ней (рис.2.12).

Рис.2.11 Рис.2.12

Точку (, f( )) называют точкой перегиба функции f(x), если она отделяет участок кривой, где функция f(x) выпукла, от участка, где эта функция вогнута.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции. Если для всех x [ a, b ], то функция f(x) выпукла на этом промежутке, если же для всех x [ a, b ], то функция f(x) вогнута на этом промежутке.

Необходимое условие точки перегиба. Если функция f(x) дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x ₀, имеет в x ₀ точку перегиба, то .

Достаточное условие точки перегиба. Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x ₀ и меняет знак при переходе через точку , то точка (, f( )) является точкой перегиба функции f(x).

Обратите внимание, что в достаточном условии точки перегиба нет требования существования второй производной в рассматриваемой точке .

Дата добавления: 2015-05-09