Решение задач. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующих функций:

Найдем промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующих функций:

ПРИМЕР 1. f(x) = ;

Решение. Находим производные:

;

, откуда =0 при = =1.5.

Из неравенств

для - < x <1.5,

для 1.5< x <+ следует, что на промежутке (- ,1.5) функция f(x) вогнутая, а на промежутке (1.5,+ ) – выпуклая, точка (1.5,-7.5) – точка перегиба.

ПРИМЕР 2. f(x) = ;

Решение. Находим производные:

,

, откуда при = -2, =1.5.

Решая квадратичные неравенства, находим, что

для - < x <-2,

для -2< x <1.5,

для 1.5< x <+ .

Таким образом, на промежутках (- ,-2) и (1.5,+ ) функция выпуклая, а на промежутке
(-2,1.5) – вогнутая, точки (-2,-124), (-1.5,-8.0625) – точки перегиба.

ПРИМЕР 3. f(x) = ;

Решение. Находим производные:

;

, откуда при =0, = , .

Знак второй производной определяется знаком величины z = x (. Так как

x ( <0 для - < x <- ,

x ( >0 для - < x <0,

x ( <0 для 0< x < ,

x ( >0 для < x <+ , то на промежутках (- ,- ) и (0, ) функция f(x) вогнутая, а на промежутках (- ,0) и (,+ ) – выпуклая. Точки (- , ), (0,0) и (, ) – точки перегиба.

ПРИМЕР 4. f(x) = ;

Решение. Находим производные:

; . не существует. Но при этом при переходе через точку 0 вторая производная меняет свой знак с «минуса» на «плюс», значит, на интервале функция выпукла вверх и выпукла вниз на интервале , точка 0 – точка перегиба.

Дата добавления: 2015-05-09