Теореми подібності

Основні положення теорії подібності узагальнені трьома теоремами подібності.

Перша теорема подібності (Ньютона-Бертрана)

Якщо системи подібні, то завжди можна знайти такі безрозмірні
комплекси величин, які мають однакові значення в схожих точках систем.

Для знаходження безрозмірних комплексів величин користуються двома методами:

- методом подібного перетворення диференційних рівнянь, що
описують процес;

- методом аналізу розмірностей величин, що впливають на протікання процесу.

Суть першого методу заключається у наступному:

1. У диференційному рівнянні відкидають знаки мат5ематичних операторів (знак диференціювання d, +, -) і одержують при цьому декілька
комплексів величин, що мають однакову розмірність;

2. Обирають один із комплексів величин в якості масштабу (одиниці порівняння) і ділять на нього по черзі інші комплекси величин, в результаті чого одержують безрозмірні комплекси величин (критерії подібності
систем).

Наприклад, рух тіла під дією приложеної сили описується другим
законом Ньютона:

Відкинувши знаки диференціювання одержимо два комплекси, що
мають розмірність сили:

Поділивши першу величину f на комплекс величини , обраний в якості масштабу, одержимо (одне и теж для потрібних
систем).

Безрозмірний комплекс величини .

Безрозмірний комплекс Ньютона, який характеризує відношення імпульсу сили до кількості руху, одержані тілом.

Перша теорема подібності показує, які величини необхідно вимірювати при проведені експериментів, тобто ті, що входять в критерії подібності.

Друга теорема подібності (Бекінгема-Фезермана)

Рішення будь-якого диференційного рівняння, що описує процес, може бути представлена у вигляді функціональної залежності між критеріями
подібності, одержаними шляхом подібного перетворення цього рівняння.

Хай π₁, π₂, π₃, … π₄ – безрозмірні комплекси величин, одержані шляхом подібного перетворення дифрівняння. Тоді рішення цього рівняння може
бути представлено у вигляді залежності між цими комплексами:

π₁ = f (π₂, π₃, … π₄)

В більшості випадків цю залежність виражають степеневою функцією

π₁ = с π^m₂ ∙ πⁿ₃ … π^р₄

Значення постійних С, m, n, … p знаходять на основі обробки результатів експериментів.

Критерії π₂, π₃, … π₄ називаються визначальними, а критерій π₁ –
визначним.

В визначальні критерії входять тільки величини із умов однозначності, які визначають хід процесу і його результат. В визначений критерій входять окрім деяких з цих величин також величина, яку потрібно визначити, тобто розрахувати.

Друга теорема подібності показує, як необхідно обробляти результати експериментів, проведених на моделях, а саме: їх необхідно представляти у вигляді функціональної залежності між безрозмірними комплексами величин, тобто між критеріями подібності.

Третя теорема подібності (Кирпигова-Гухмана)

Системи подібні, якщо їх визначальні критерії мають одинакові
значення в схожих точках систем.

Ця теорема є наслідком перших двох теорем подібності.

Дата добавления: 2015-05-09