По определению байесовского решающего правила получаем, что 2 страница

и , ,

то при .

Доказанная теорема указывает на важное свойство (признак) пикселей, образующих фон объекта . В самом деле, если окрестности и , , принадлежат , то при достаточно больших значениях практически для всех изображений зоны интереса событие , , является невозможным. Далее среднее арифметическое значение будет использоваться в качестве признака пикселя при поиске зон интереса и классификации их пикселей.

Очевидно, что все доказанные результаты справедливы также для бер­нуллиевских сцен.

3.6 Описание формы

Обозначения, используемые в настоящем пункте, имеют локальный характер. За его пределами они могут иметь другое значение.

При визуальном дешифрировании изображений форма присутству­ющих на сцене объектов является важным демаскирующим признаком. Однако применение этого признака при автоматическом дешифрировании наталкивается на серьезные трудности, связанные с отсутствием его удобной формализации. Поэтому, несмотря на довольно большое число публикаций, посвященных изложению различных способов определения (фор­ма­лизации) формы (см., например [49, 50, 69-71]), исследования в этом направлении, по-преж­нему, сохраняют свою актуальность.

В настоящем пункте предлагается определение формы для ограниченных подмножеств вещественной плоскости . Множества задаются замкнутыми спрямляемыми кривыми , которые описываются уравнениями вида . Предполагается, что кривые не имеют кратных точек и что функция непрерывна. Далее подмножества называются фигурами, а кривые - их границами.

Независимо от используемого подхода, определение формы должно удовлетворять ряду очевидных требований. В частности, фигуры, получающиеся из исходной путем ее параллельного переноса (сдвига) или ее поворота относительно выбранной точки, должны иметь одинаковую форму. Эти преобразования образуют, как известно, группу движений на .

Пусть - граница выпуклой фигуры , а - ее длина. Зафиксируем на некоторую точку в качестве начала отсчета и зададим положительное направление. Это позволяет установить между точками кривой и точками отрезка прямой взаимно однозначное соот­вет­ствие. Точке ставится в соответствие точка на , находящаяся от на расстоянии . Очевидно, что существуют отобра­жения и на такие, что и . Продолжим эти отображения на оставшуюся часть прямой при помощи равенств и , то есть будем считать и перио­ди­чес­кими. Поскольку речь идет об ограниченных фигурах, то существуют и , и такие, что , .

Далее будет предполагаться, что и являются борелевскими. В связи с этим желательно указать класс фигур, для которых подобное предположение выполняется. Прежде всего, сошлемся на хорошо известный результат, в соответствии с которым все непрерывные функции являются борелевскими. В важном частном случае, когда множество является многоугольником, доказать непрерывность функций и можно непосредственно.

В самом деле, пусть и - точки из , соответствующие концам и отрезка ломаной, принадлежащего прямой . Без ограничения общности будем считать, что и что < . Если - точка на отрезке ломаной , соответствующая точке , то при и легко показать, что

, .

То есть, и - непрерывные функции. Если , , то

, .

При и , по аналогии с предыдущим случаем, получаем, что

, .

То есть, отображения и непрерывны.

Известно, что отображение вида

,

является плотностью равномерно распределенной на случайной величины , определяемой равенством . Будем называть ее далее случайной точкой.

Каждой паре , случайных точек на соответствует пара , точек на кривой . По предположению, и - борелевские функции, поэтому координаты точек и являются случайными величинами. Каждая пара , точек на одно­значно определяет на вполне конкретную прямую. Очевидно, что между прямыми, пересекающими фигуру и парами точек на кривой существует взаимно однозначное соответствие. По аналогии со случайными точками, такие прямые также будут называться случай­ными прямыми.

Пересечение выпуклой фигуры со случайной прямой является отрезком. Далее он будет называться хордой, вырезаемой фигурой из случайной прямой. Так как длина хорды имеет вид

= ,

то при борелевских и она является случайной величиной. Ее распределение вероятностей предлагается рассматривать в качестве формы выпуклой фигуры . Две выпуклых фигуры и будут считаться одинаковыми по форме, если совпадают распределения вероятностей и для длин хорд, вырезаемых этими фигурами из случайных прямых.

Если выбрать на кривой другое начало отсчета, то каждая пара , случайных точек из будет определять на кривой две пары точек. Пару , в системе координат с началом в и пару , в системе координат с началом в . Длины и хорд будут, в общем случае, разными. Покажем, что распределение длин хорд будет в обоих случаях одним и тем же.

Пусть - отображение вида , соответствующее началу отсчета . По предположению является борелевским отображением. Поэтому - случайная величина с плотностью

= =

Отметим, что неравенство из правой части последнего равенства эквивалентно .

Пусть - другое начало отсчета на кривой , которому в первой системе координат соответствует точка . Если - отображение вида , соответствующее началу отсчета , то для каждой точки получаем, что . Из этого равенства следует, что . Поэтому

= = .

Или

= .

Неравенство из правой части равенства эквивалентно . Поэтому = . Что и требовалось доказать. Таким же образом доказывается независимость от выбранного начала отсчета отображения вида , которое каждой случайной точке ставит в соответствие вторую координату точки на кривой .

Покажем, что форма фигуры не меняется при параллельном переносе. Пусть - фиксированный вектор, - подмножество на , а - множество, полученное параллельным переносом на вектор , то есть

= .

В этом случае уравнение границы множества принимает вид

.

Если граница множества спрямляема, то спрямляема и граница множества . Таким образом, если - фигура, то - также фигура и наоборот. Имеет место следующий результат.

Теорема 3.6.1. Фигура и получаемая из нее параллельным переносом на вектор фигура имеют одну и ту же форму, то есть .

Теорема 3.6.2. Фигура и получаемая из нее поворотом относитель­но начала координат на угол фигура имеют одну и ту же форму, то есть .

При повороте относительно произвольной точки необходимо вначале выполнить параллельный перенос фигуры на вектор - , затем повернуть сдвинутую фигуру относительно начала координат и после выполнить параллельный перенос повернутой фигуры на вектор .

Таким образом, сравнение фигур и по форме, с формальной точки зрения, заключается в проверке равенства распределений и длин хорд, вырезаемых этими фигурами из прямых, выбранных на плоскости случайным образом. Получение для конкретной фигуры ее распределения путем теоретических вычислений, в общем случае, может оказаться достаточно сложной задачей. Поэтому в приложениях целесообразно воспользоваться методами математической статистики. Они позволяют проверить равенство = путем исследования случайных выборок, полученных из этих распределений. Отметим, что получение случайных выборок длин хорд, практически, не зависит от вида фигуры.

В самом деле, пусть и - сравниваемые фигуры, а и - количество независимых случайные прямых, пересекающих и соответственно. Пусть и - выборки длин хорд, вырезанных из этих прямых фигурами и . Предположение о равенстве распределений и в математической статистике называется гипотезой однородности. Для ее проверки разобьем множество вещественных чисел на интервалов. Пусть и - количество элементов выборок и соответственно, оказавшихся в -ом интервале. Известно [68, с. 483], что при равенстве = распределение статистики вида

= ,

стремиться при к распределению с () степенью свободы. Поэтому вероятность оказаться в интервале для статистики равняется приблизительно .

Сказанное позволяет свести сравнение фигур по форме к проверке гипотезы однородности. В самом деле, зададим малое положительное число (например, 0.01 или 0.005) и, решив уравнение относительно , построим критическую область . Если для вычисленного значения статистики выполняется неравенство , то гипотеза о равенстве распределений и отвергается. Очевидно, что вероятность отвергнуть верную гипотезу равняется .

Наконец, перейдем к описанию формы невыпуклых фигур. Принципиальное отличие невыпуклой фигуры от выпуклой состоит в том, что ее пересечение с прямой линией может состоять из нескольких отрезков, которые так же будут называться хордами. Следовательно, непосредственное применение предложенного выше определения формы для сравнения невыпуклых фигур не подходит.

Поэтому сопоставим каждой невыпуклой фигуре не одну, а пару случайных величин. Первая случайная величина будет описывать число хорд, которые вырезает фигура из прямой линии. Вторая – сумму длин всех хорд, вырезанных из прямой. Таким образом, форму невыпуклой фигуры можно рассматривать как двумерную случайную величину или ее распределение. Две невыпуклые фигуры следует рассматривать как одинаковые по форме, если их распределения совпадают. Очевидно, что фигуры, получаемые друг из друга параллельным переносом или поворотом, будут иметь одну и ту же форму. Если применить определение формы невыпуклой фигуры для описания выпуклых фигур, то случайная величина, описывающая количество вырезанных хорд, будет принимать всегда (с вероятностью равной единице) значение 1. Это означает, что определение формы выпуклой фигуры является частным случаем определения формы невыпуклых фигур. Таким образом, для сравнения двух фигур по форме достаточно получить для каждой из них двумерную выборку и проверить гипотезу однородности.

3.7 Свойства формы фигур на дискретной решетке

При определении формы плоских фигур в 3.6 использовалась вещественная плоскость . Однако, исходная информация о сцене представлена, как правило, в виде цифровых изображений. Поэтому при сравнении фигур по форме возникают трудности, вызванные дискретизацией (заменой на ). Как будет показано ниже, на квадраты с разными длинами сторон и круги с разными радиусами могут распознаваться как разные по форме фигуры. Следует помнить и о том, что для вычисления геометрических признаков, в частности формы, необходимо располагать проекцией объекта. В ходе сегментации проекции объектов сцены искажаются. Это проявляется как в виде потери некоторой части собственных пикселей (проекция уменьшается), так и в виде присоединения к проекции пикселей фона (проекция увеличивается). Поэтому рассчитывать на буквальное совпадение проекции присутствующего на сцене объекта с проекцией сравниваемого объекта (образца) не приходится. Следовательно, методы сравнения фигур по форме должны быть терпимыми к определенным искажениям.

Дата добавления: 2015-05-09