Рассмотрим расчет характеристик (показателей качества функционирования) разомкнутой СМО

1. Для нормального функционирования системы необходимо соблюдение требования (в противном случае очередь будет расти неограниченно), где n - количество обслуживающих каналов (аппаратов); λ — частота (интенсивность) поступления требований в систему; - средняя продолжительность обслуживания одного требования одним аппаратом.

2. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, когда их число не превышает числа обслуживающих аппаратов:

P_k = a_kP₀, (0 ≤ k ≤ n),

где Р₀ - вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны.

3. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, когда их число превышает число обслуживающих аппаратов:

где

4. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:

5. Вероятность того, что обслуживающие аппараты заняты (вероятность отказа в немедленном обслуживании):

6. Средняя длина очереди -

7. Средняя продолжительность ожидания обслуживания (продолжительность простоя в очереди) —

8. Среднее число требований, находящихся в системе (обслуживаемых и ожидаемых обслуживания):

А₂ = Р₁ + 2Р₂ + 3Р₃+... + (n - 1)Р_n-1 + nР_n (n / (n - λt_об)) + A₁.

9. Среднее число свободных аппаратов —

10. Коэффициент простоя обслуживающего аппарата —

Пример 2. Центральный склад фирмы отпускает материалы не только филиалам фирмы, но и сторонним организациям, число которых заранее неизвестно. Представители сторонних организаций могут повторно на склад не прибыть, поскольку договорные отношения могут завершиться или прерваться с одними контрагентами и начаться с другими. Поэтому центральный склад можно считать разомкнутой (открытой) системой с неограниченным входящим потоком.

Проведенный анализ показал, что входящий на склад поток автомашин за материалами является пуассоновским, а за один час на склад в среднем прибывает 1,75 автомашины. На складе имеются два автопогрузчика, которые используются только для погрузки материалов на пребывающие автомашины. Средняя продолжительность погрузки одной автомашины одним автопогрузчиком составила 48 мин. Продолжительность погрузки одной автомашины подчиняется показательному закону распределения. Если прибывшая автомашина застает оба автопогрузчика занятыми, то она становится в очередь. Анализ также показал, что продолжительность ожидания (простоя в очереди) подчиняется показательному закону распределения.

Решение. Рассчитаем основные параметры системы для условий задачи.

Прежде всего проверим выполнение условия. Так как 2 > 1,75×0,8 = 1,4, то система может нормально функционировать.

Вероятность того, что на складе нет автомашин:

Вероятность того, что на складе одна автомашина:

Вероятность того, что на складе две автомашины:

Вероятность отказа в немедленном обслуживании (вероятность возникновения очереди):

Так как Р₀ + Р₁ + Р_отк = 1, то Р₀ (1 + 1,4 + 3,2667) = 5,6667 Р₀ = 1. Отсюда находим: Р₀ = 0,1765.

Дальнейшие расчеты затруднений не вызывают. Например, среднее число автомашин, находящихся под погрузкой, будет равно:

Средняя длина очереди —

Индивидуальные задания

Во всех задачах этой темы предполагается, что поток требований является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону.

Вариант 1

Подразделение фирмы осуществляет монтаж котельного оборудования. В среднем в течение года поступает 12 заявок (коммерческих предложений) от различных организаций. Монтажные работы на некотором конкретном объекте может производить одна из 4 бригад. Время, затраченное при этом, является случайной величиной и зависит от сложности монтажа, характера выполняемых работ, слаженности бригад и других причин. Статистика показала, что в среднем за год одна бригада успевает поставить оборудование для 4 объектов.

Рассчитайте основные характеристики работы данного подразделения как СМО с ожиданием.

Вариант 2

На строительном участке в инструментальной мастерской работают 3 мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда все мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он не уходит из мастерской и ожидает обслуживания. Статистика показала, что среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 4, среднее время, которое затрачивает мастер на заточку или ремонт инструмента, равно 10 мин.

Рассчитайте основные характеристики работы данной мастерской как СМО с ожиданием.

Вариант 3

Поток клиентов, прибывающих в банк, имеет интенсивность 9 клиентов в час. Продолжительность обслуживания одного клиента в среднем длится 8 мин. Сколько операционистов должно обслуживать клиентуру, чтобы среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, не превышало 3?

Вариант 4

На АЗС имеются две колонки для заправки автомобилей бензином. По статистическим оценкам автомобили подъезжают на АЗС со средней частотой два автомобиля за 5 мин. Заправка автомобиля длится в среднем 3 мин. Определите:

- вероятность того, что у АЗС не окажется ни одного автомобиля;

- вероятность того, что придется ждать начала обслуживания;

- среднюю длину очереди в ожидании заправки;

- среднее время ожидания автомобиля в очереди.

Вариант 5

Оптовый склад лесоматериалов обслуживает 30 предприятий-потребителей. Каждое из предприятий направляет на склад за лесоматериалами автомашину в среднем 0,5 раза в смену (продолжительность смены 8 ч). На складе имеются два крана, которые используются только для погрузки лесоматериалов на прибывающие автомашины. Средняя продолжительность погрузки одной автомашины составляет 30 мин.

Прибывшая на склад автомашина становится в очередь, если оба крана заняты погрузкой других автомашин. Определите:

1) вероятность того, что оба крана свободны (простаивают);

2) среднее число свободных (незанятых) кранов;

3) коэффициент простоя крана;

4) среднее число автомашин, находящихся на складе (под погрузкой и в ожидании погрузки);

5) среднее число автомашин, находящихся в очереди (длину очереди);

6) коэффициент и среднее время простоя автомашин в очереди.

Вариант 6

В порту имеются два причала для разгрузки судов. Интенсивность потока судов составляет 4 судна за 5 суток. Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Определите:

— среднее число занятых причалов;

— среднее время ожидания судна в очереди.

Вариант 7

Наладчик обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Определите:

— вероятность того, что наладчик будет занят обслуживанием станка;

— коэффициент простоя наладчика;

— коэффициент простоя станка.

Вариант 8

Два рабочих обслуживают три станка. Среднее время безотказной работы станка равно 2 часам среднее время ремонта 20 мин. Определите:

— среднее число занятых рабочих;

— среднее число работающих станков.

Вариант 9

Поток сотрудников, приходящих в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), имеет интенсивность 8 сотрудников в час. Продолжительность работы бухгалтера с одним сотрудником в среднем составляет 7 мин. Сколько бухгалтеров должно работать с сотрудниками, чтобы среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, не превышало 2?

Вариант 10

Оптовый склад обслуживает 30 предприятий-потребителей материалов. Каждое из предприятий направляет на склад автомашину в среднем один раз в смену (смена - 8 ч). Средняя продолжительность погрузки одной автомашины составила 48 мин, т.е. 0,1 смены. Погрузка осуществляется кранами. Потери склада, связанные с простоем крана (включая крановщика и стропальщиков) из-за отсутствия автомашин, равны 5 у.е./ч.

Прибывшая на склад автомашина становится в очередь, если все краны заняты погрузкой других автомашин. При этом склад оплачивает предприятиям расходы, связанные с простоем на складе их автомашин и шоферов в очереди под погрузку, из расчета 2,6 у.е. за час простоя автомашины и шофера. Определите:

1) оптимальное количество необходимых складу кранов, при котором суммарные ожидаемые потери склада, связанные с простоем кранов (из-за отсутствия автомашин) и простоем автомашин в очереди, были бы минимальными;

2) коэффициент простоя крана;

3) среднее число автомашин, находящихся в очереди (длину очереди);

4) коэффициент и среднее время простоя автомашины в очереди.

Указание: для определения оптимального количества кранов необходимо рассчитать при разном их количестве коэффициенты простоя кранов и коэффициенты простоя автомашин в очереди. Например, при четырех кранах коэффициент простоя автомашин будет равен 0,0172, а коэффициент простоя кранов - 0,3299. Тогда потери от простоев кранов и автомашин (если потери от простоя одного крана равны 5 у.е./ч, а одной автомашины - 2,6 у.е./ч) при четырех кранах составят 2,6×30×0,0172 + 5×4×0,3299 = 7,94 у.е. Оптимальное количество кранов будет соответствовать минимальной сумме потерь.

Дата добавления: 2015-05-10