Площадь поверхности вращения

Пусть имеем на плоскости xy (именно в верхней полуплоскости) некоторую кривую AB, заданную уравнением вида , , , (10)

Где и - функции от параметра, непрерывные вместе со своими производными. Для простоты будем предполагать её незамкнутой и лишённой кратных точек. Нам удобно ввести в качестве параметра дугу s, отсчитываемую от точки , и перейти к представлению , , (11)

Формула площади поверхности вращения:

. (12а)

В частности, если кривая задана явным уравнением , так что в роли параметра оказывается x, будем иметь:

. (12б)

Пример 1. Определить площадь поверхности шарового пояса.

Пусть полукруг, описанный около начала радиусом r, вращается вокруг оси x. Из уравнения круга имеем ; далее, , , . В таком случае площадь поверхности пояса, описанного дугой, концы которой имеют абсциссы и , по формуле (12б) будет , где h – высота пояса. Таким образом, площадь поверхности шарового пояса равна произведению окружности большого круга на высоту пояса. В частности, при и , т.е. при , получаем площадь всей шаровой поверхности .

Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги циклоиды , .

Так как , , то

Дата добавления: 2015-05-26