Метод простої ітерації

Методика розкладання матриці на добуток двох трикутних матриць.

Квадратну матрицю можна розкласти на дві трикутні (квадратні, в яких елементи, що розташовані вище (нижче) головної діагоналі, дорівнюють нулю) і це розкладення буде єдиним, якщо діагональним елементам однієї з трикутних матриць заздалегідь дати не рівні нулю значення (наприклад, такі, що дорівнюють одиницям).

Нехай , де Т ₁ і Т ₂ – трикутні матриці в одній з яких діагональними елементами є одиниці. Інші елементи матриць Т ₁ і Т ₂ знаходять наступним чином:

а) перемножують матриці Т ₁ і Т ₂ (їх елементи – літерні позначення);

б) прирівнюють відповідні елементи матриці-добутку Т ₁ Т ₂ елементам матриці А – одержують рівняння: одночленні, двочленні і т. д.;

в) розв'язують одержані рівняння – спочатку одночленні, далі двочленні і т.д.

3.2.2 Ітераційні методи розв'язування СЛАР

Розглядаються три ітераційних метода: метод простої ітерації (послі-

довних наближень), метод Зейделя і метод найшвидшого спуску.

В загальному випадку задана СЛАР (3.2), яка записана в розгорнутому матричному вигляді (3.5). Якщо припустити, що діагональні елементи матриці А (і = 1, 2, …, n), то можна перевести систему до канонічного виду і потім виразити х ₁ через перше рівняння системи, х ₂ – через друге рівняння і т. д. У результаті одержимо систему, яка еквівалентна системі (3.2):

(3.9)

Позначимо , де і, j = 1, 2, …, n. Тоді система (3.9) запишеться так:

(3.10)

Систему (3.10) називають приведеною до нормального виду. Ця система в матричній формі запису:

або

(3.11)

Після нормалізації системи перевіряється умова збіжності ітераційного процесу. Ознакою збіжності є умова того, що будь-яка з норм матриці менша від одиниці, тобто

де q – норма матриці , яка може бути визначена за однією із формул:

, .

Алгоритм методу простої ітерації наступний:

- за нульове наближення приймається стовпець вільних членів:

– нульове наближення,

далі будуються матриці-стовпці наступних наближень:

– перше наближення;

– друге наближення

і т.д.

Взагалі, будь-яке (k +1)-е наближення обчислюють за формулою

(k = 0, 1, …, n). (3.12)

Ітераційний процес продовжується доти, поки не буде виконано умову

де – задана абсолютна похибка.

В методі ітерацій заміна значень всіх змінних проводиться одночасно (одночасне зміщення).

Приклад 1. Розрахувати струми в гілках електричного кола (рис. 3.1) методом простої ітерації.

У матричному виді система (1.1) запишеться наступним чином (за даними параметрів схеми рис. 1.1):

або (3.13)

Перед приведенням системи до нормального виду необхідно за допомогою еквівалентних перетворювань зробити систему (3.13) придатну ітераційному процесу. Для цього слід за допомогою перестановки і алгебраїчних дій з рівняннями системи добитися, щоб елементи головної діагоналі матриці мали максимальне за модулем значення. Тобто:

- друге рівняння запишеться замість першого;

- з першого рівняння, домноженого на 10 віднімається третє рівняння і результат записується замість другого рівняння;

- третє рівняння залишається без змін.

В результаті система (1.13) набуває виду:

(3.14)

Для переводу до нормального виду кожне рівняння системи треба розділити на відповідні елементи, що розташовані на головної діагоналі.

Для СЛАР (3.14), що еквівалентна системі (3.1), нормальний вид наступний:

(3.15)

Для застосування методу простої ітерації матрична система переписується у формі (3.11), тобто:

.(3.16)

З (3.16) слідує, що і , тобто умова збіжності ітераційного процесу (норма матриці менша від одиниці) виконується як по рядках, так і по стовпцях.

Нульове наближення, що дорівнює з (1.12): .

Задається абсолютна похибка розрахунку

Перше наближення згідно ітераційній формулі методу (3.12):

Знаходиться друге наближення:

Третє наближення:

Аналогічно знаходяться наступні наближення розв'язки задачі:

Перевірка умови закінчення ітераційного процесу після 14-го кроку:

За чотирнадцять кроків ітераційний процес закінчився з заданою точністю.

Струм в гілках схеми (рис. 1.1) становить:

Перевірка у вузлі „а” (рис. 1.1) за першим законом Кірхгофа виконується з точністю до (0,269 + 1,579) – 1,842 = 0,006 А.

Дата добавления: 2015-05-26