Дробный факторный эксперимент

При большом числе факторов (к > 3) ПФЭ требует большого числа опытов. В таких случаях с целью уменьшения объёма эксперимента можно использовать определённую часть ПФЭ: 1/2; 1/4; 1/8 и т.д. Такой метод называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ).

При постановке ДФЭ исходят из предложения, что коэффициенты регрессии при взаимодействиях высших порядков незначительно отличаются от нуля. Обычно, чем выше степень взаимодействия, тем менее значим его эффект. Тогда становится возможным использовать в плане ПФЭ столбцы, относящиеся к взаимодействиям высших порядков для оценки дополнительных линейных эффектов.

Дробность реплики определяется количеством дополнительных факторов. Если один фактор, то такой план обозначается 2^к-1 и называется полурепликой (1/2), если два фактора – четверть репликой (1/4), если три фактора – одной восьмой реплики (1/8). Число опытов ДФЭ равно:

N = 2^k-p, (13.9)

где р – число дополнительных факторов.

Процесс построения 2^к-1 реплики (т.е. 1/2 реплики) рассмотрим на примере для к = 3. За основу возьмём ПФЭ 2², матрица показана в табл. 13.4, уравнение регрессии имеет следующий вид:

у = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂. (13.10)

Таблица 13.4

Матрица полного факторного эксперимента 2²

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х1Х2	уi
	+	-	-	+	у1
	+	+	-	-	у2
	+	-	+	-	у3
	+	+	+	+	у4

Если предположить, что модель линейна, т.е. b₁₂ 0, тогда столбец Х₁Х₂ можно использовать для Х₃. Присвоив фактору Х₃ столбец Х₁Х₂, и расширив матрицу, учтя в ней все возможные взаимодействия для трёх факторов, получили табл. 13.5. Это будет матрица дробной реплики 2^3-1.

Таблица 13.5

Матрица дробной реплики 2^3-1(Х₁Х₂ = Х₃)

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х1Х2/Х3	Х1Х3	Х2Х3	Х1Х2Х3	уi
	+	-	-	+	-	-	+	у1
	+	+	-	-	-	+	+	у2
	+	-	+	-	+	-	+	у3
	+	+	+	+	+	+	+	у4

В принципе фактору Х₃ можно присвоить столбец взаимодействия Х₁Х₂, поменяв в нём знаки на обратные.

Очевидно, что в результате использования реплики 2^3-1 вместо матрицы 2³, число опытов эксперимента сокращается вдвое: 2³ = 8, а 2^3-1 = 4, но посмотрим какой ценой это достигается.

Фактору Х₃ отдали столбец взаимодействия Х₁Х₂, следовательно и оценка коэффициента при Х₃ будет смешана с оценкой коэффициента при взаимодействии Х₁Х₂. Другими словами, при подсчёте получили одинаковые оценки коэффициентов при Х₃ и при Х₁Х₂ и будет неизвестно какой вклад внёс в эту оценку фактор Х₃, а какой – взаимодействие Х₁Х₂:

b₃ = b₁₂ b₃ + b₁₂.

Кроме того Х₂ = Х₁Х₃; Х₁= Х₂Х₃; Х₀ = Х₁Х₂Х₃, следовательно имеет место смешение оценок:

b₀ = b₁₂₃ b₀ + b₁₂₃; b₁ = b₂₃ b₁ + b₂₃; b₂ = b₁₃ b₂ + b₁₃,

где b₁, b₂, b₃ – истинные значения коэффициентов регрессии.

Эффект от смешивания будет снижать точность оценок. Однако, поскольку считается, что модель линейна, т.е. b_ij 0, то точность оценок будет достаточной.

Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействий. Реплики, у которых линейные эффекты смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка, являются наиболее эффективными и обладают наивысшей разрешающей способностью.

Составляя план ДФЭ, необходимо программировать условия смешивания. Для этого можно пользоваться методом, состоящим из следующих этапов:

1.Выбирают, какой столбец будет использован для получения линейной оценки дополнительного фактора. Это равенство называется генерирующим соотношением. В рассматриваемом примере это Х₃ = Х₁Х₂.

2.Рассчитывают определяющий контраст. Для этого части генерирующего соотношения умножают на уровень дополнительного фактора Х_i.

Применительно к нашему примеру это будет выглядеть сле дующим образом: Х₃ = Х₁Х₂Х₃, т.к. Х_i = 1, то полученное равенство имеет такой вид: 1 = Х₁Х₂Х₃. Это равенство и называется определяющим контрастом, поскольку с его помощью можно определить, с каким эффектом смешан любой интересующий нас эффект в выбранном плане ДФЭ.

3.Определяем условия смешивания оценок. Для этого обе части равенства определяющего контраста умножают на интересующий фактор:

При составлении планов большей дробности, чем полуреплика, приходится выбирать несколько генерирующих соотношений. В результате составляется несколько вариантов плана. При выборе наилучшего из них необходимо заранее определить нежелательность смещения каких-либо эффектов в одной оценке и с этих позиций оценивать полученный вариант плана.

Дата добавления: 2015-05-26