Операції з силами, які прикладені в одній точці

Складання сил. Дві сили та (рис. 1.1 та 1.2), які прикладені в одній точці А, можна замінити рівнодійною , яку знаходимо геометрично за правилом паралелограма (рис. 1.1) або трикутника (рис. 1.2).

Для того, щоб скласти сили за правилом паралелограма (рис. 1.1) необхідно через кінці векторів та , що зображені на рис 1.1. а), провести лінії, паралельні до них (рис. 1.1, б), та провести діагональ цього паралелограму з точки А (рис. 1.1, в)). Відповідний вектор з початком у точці А і кінцем у протилежному куті паралелограму і буде векторною сумою.

Для того, щоб скласти сили (рис. 1.2, а)) за правилом трикутника необхідно паралельно перенести один з векторів, наприклад, вектор , так, щоб його початок співпав з кінцем першого вектора – (рис. 1.2, б)). Вектор , який з’єднує початок першого з векторів з кінцем перенесеного вектора (рис. 1.2, в) і буде векторною сумою

Звернемо увагу на наступне:

1) складання векторів – операція однозначна;

2) положення та величина рівнодійної не залежить від методу складання векторів та їх порядку, отож, ;

3) складанням векторів за правилом трикутника зручно користуватися, коли вихідні вектори спрямовані у одному, чи протилежних напрямах.

Модуль рівнодійної знаходимо за теоремою косинусів для векторів

, (1.1)

де – кут між силами та , а напрям сили (кут , який вона утворює з силою , або кут , який вона утворює з силою ), знаходимо за теоремою синусів (рис. 1.1, в)) з урахуванням того, що

. (1.2)

Тоді з (1.2) отримуємо:

, (1.3)

, (1.4)

що дозволяє визначити кути і .

Знайдемо рівнодійну у випадку трьох сил , та , які прикладені в точці А і не лежать в одній площині (рис.1.3, а). Їх суму легко знайти, застосовуючи послідовно правило трикутника: спочатку складемо перші два вектори та , а до отриманого вектора додамо (рис. 1.3, б), тобто виконаємо наступну дію .

Отже сума трьох сил, які не лежать в одній площині, визначається діагоналлю паралелепіпеда (рис. 1.3, б), побудованого на цих силах, як на сторонах.

Узагальнити правило складання сил можна на випадок сил , , , які прикладені в одній точці. Рівнодійну (рис. 1.4) визначимо як суму цих сил

. (1.5)

Для її знаходження з кінця вектора, що дорівнює першій силі , відкладемо вектор, що дорівнює силі і т. д. З’єднавши початок першого вектора з кінцем останнього , знаходимо рівнодійну (рис. 1.4). Одержаний таким чином многокутник називається многокутником сил (силовим многокутником.

Розкладання сил. У багатьох випадках операції з силами спрощуються, коли вони здійснюються через їх складові. Розкласти силу на складові – означає знайти таку систему декількох сил, для якої дана сила є рівнодійною.

Якщо складання сил операція однозначна, то розкладання сили (знаходження її складових) – неоднозначна. Для однозначного визначення цих складових необхідно знати:

– або напрями, вздовж яких діють складові;

– або інші складові, крім невідомої.

Для знаходження складових застосовують метод проекцій.

А) Проекція вектора на площину – це вектор, початок і кінець якого визначаються проекціями на цю площину відповідно початку і кінця заданого вектора. Для знаходження проекції потрібно опустити перпендикуляри на площину з початку (отримаємо точку ) та кінця (отримаємо точку ) вектора . Проекція вектора на площину показана на рис. 1.5.

Модуль проекції

(1.6)

де – гострий кут між вектором та площиною (рис. 1.5).

Б) Проекція сили на вісь

Вираз „проекція сили на задану вісь”, наприклад, (рис. 1.6), має два тлумачення:

1) алгебраїчна проекція вектора на вісь– це число, яке дорівнює різниці координат кінця і початку вектора

,

і може бути визначене через скалярний добуток вектора сили на одиничний вектор (орт) , який характеризує додатній напрям осі, тобто

, (1.7)

де - кут між додатнім напрямом осі та напрямом сили . Якщо цей кут гострий, то алгебраїчне значення проекції > 0 (рис. 1.6, а), якщо кут між векторами та тупий, то < 0 (рис. 1.6, б);

2) геометрична проекція вектора на вісь– це вектор , паралельний до осі (рис. 1.6). Початок цього вектора співпадає з початком вектора , а кінець визначається перетином лінії, яка визначає координату кінця вектора .

. (1.8)

Методи знаходження складових сили:

Розглянемо два випадки знаходження складових, які найчастіше зустрічаються:

вісі, на які проектуємо вектор, лежать в площині;

вісі, на які проектуємо вектор, мають просторову орієнтацію

Дата добавления: 2015-06-04