Понятие средних величин и их виды. Правило мажорантности средних

Тема 4. Средние числа и показатели вариации

План

1. Понятие средних величин и их виды.Правило мажорантности средних.

2. Структурные средние.

3. Показатели вариации.

Средняя величина является одним из самых распространенных обобщающих показателей в статистике, только с помощью средней можно охарактеризовать совокупность по количественному варьирующему признаку.

С помощью средних величин можно сравнивать между собой различные совокупности по варьирующим признакам. Средняя величина всегда обобщает количественную вариацию признака. Характеристики средних величин: обобщающая величина; именованная величина; абстрактная величина; как, правило средняя величина не совпадает ни с одним из вариантов; исчисляется по однородным, однокачественным явлениям.

Виды средних величин.

Существуют различные виды средних величин. В статистике применяют степенные средние и структурные средние. К степенным средним относят: арифметическую, квадратическую, кубическую, гармоническую, геометрическую.

К структурным средним относят квантили (медиана, квартили, децили, процентили и др.) распределения и моду.

Степенные средние делятся на простые и взвешенные. Простая применяется тогда, когда у каждой варианте частота равна единице. Взвешенная применяется тогда, когда каждый вариант встречается в совокупности одинаковое число раз. Степенные средние представлены в табл.4. Таблица 4

Степенные средние

№	Вид степенной средней	Показа-тель степени (m)	Формула расчета
Простая (для несгруппированных данных	Взвешенная (для сгруппированных данных)
	Арифметическая		= ∑X: n	= ∑Xf: ∑f
	Квадратическая		= ∑Х²: n	= √∑Х² f: ∑f
	Гармоническая	-1	.= n: ∑1/Х;	= ∑ w: ∑ w /Х
	Геометрическая		=	= √ Х1f. Х2 f …Х n f

Из степенных средних в статистике наиболее часто применяется средняя арифметическая: простая арифметическая - когда веса отсутствуют или их трудно определить и арифметическая взвешенная вычисляется, когда значения осредняемого признака повторяются (встречаются несколько раз).

С редняя квадратическая наиболее широко используется при расчете показателей вариации.

Реже применяется средняя гармоническая (обратная средней арифметической) исчисляется в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности, а произведение этих единиц на значение признака w = Хf.

С редняя геометрическая применяется, когда необходимо вчислить средние темпы роста.

Разные виды степенных средних при одном и том же исходном материале имеют неодинаковое значение. Чем больше показатель степени средней в формуле степенной средней, тем больше величина средней. Это правило называется правилом мажорантности средних.

> .> >

х	х²	1/х
		1/3
		1/6

Пример:

.=(3+6):2 = 4,5, Х кв. = √(9 +36):2 = 4,75; = 2: (1/3 +1/6) =12:3= 4, . = √3х6 = 4,26

К структурным характеристикам распределния варьирующего признака относят квантили распределения (медиану, квартили, децили и др.) и моду.

Квантиль – это значение признака Х, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности. Виды квантилей:

Медиана (Ме) – это вариант, делящий совокупность пополам, т.е. серединная варианта, варианта, находящяяся в середине вариационного ряда. Она делит ряд пополам, по обе стороны от нее (верх и вниз находится одинаковое количество единиц совокупности.

Квартили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 4 равные части;

Децили - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 10 равных частей;

Процентили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 100 равных частей.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которую достигла половина членов совокупности.

Мода– это вариант, который чаще всего встречается в совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Мода и медиана отличаются от степенных средних тем, что являются конкретными характеристиками, их значение имеет какая – либо конкретная варианта в вариационном ряду.

Мода применяется в тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака. Например, надо узнать наиболее распространенный размер з/платы на предприятии.

Мода и медиана являются типичными характеристиками в тех случаях, когда взяты совокупности однородные и большой численности.

Пример. Распределение семей по числу детей

Группа семей по числу детей	Число семей Накопленные частоты
	10 10
	30 40
Мода - 2	75 115
	45 160
	20 180
	15 195
	6 201
Итого	201 -

Мода - это семья, имеющая двоих детей, т.к этому значению варианты соответствует наибольшее число семей.

Если распределения, где все варианты встречаются одинаково часто, в этом случае моды нет или все варианты одинаково модальны. Если две варианты могут иметь наибольшие частоты, тогда будут две моды, распределение будет бимодальным.

Чтобы найти медиану в дискретном вариационном ряду, нужно сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить ½. Так, в распределении 201 семьи по числу детей медианой будет: 201/2 + ½ = 101, т.е. 101-я варианта, которая делит упорядоченный ряд пополам. Чтобы вычислить значение 101 варианты, нужно накапливать частоты, начиная с наименьшей варианты. 101 варианта соответствует третьему значению варьирующего признака, и медианой будет семья, имеющая двоих детей. В этом примере медиана и мода совпали.

Дата добавления: 2015-06-26