Пространственной системы сил

Аналитические условия равновесия

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из трех координатных осей была равна нулю, т.е.

При решении задач на равновесие произвольной пространственной системы сил рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1. Выделить тело, равновесие которого следует рассмотреть.

2. Изобразить активные (заданные) силы.

3. Освободить тело от связей, заменив их реакциями. Число неизвестных не должно быть более шести, иначе задача будет статически неопределимой.

4. Выбрать систему координат.

5. Составить уравнения равновесия.

6. Решить полученные уравнения относительно неизвестных.

После решения системы уравнений необходимо провести проверку, составив сумму моментов относительно какой - либо оси, отличной от принятых для решения задачи.

Задача С4

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 Н со сторонами АВ = 3 а и ВС = 2 а закреплена в точке А сферическим подшипником, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС₁ (рис. С4.0 – С4.2).

На плиту действуют пара сил с моментом М = 6 Нм, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в таблице С4. Точки приложения сил (D, Е, Н) находятся в середине сторон плиты.

Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять

а = 0,5м.

Таблица С4

		z
	х

Силы

   

F ₁ = 4 Н

F ₂ = 6 Н

F ₃ = 8 Н

F ₄ = 10 Н

Номер условия

Точка приложения

α ₁, град.

Точка приложения

α ₂, град.

Точка приложения

α ₃, град.

Точка приложения

α ₄, град.

D

-

-

E

-

-

H

D

-

-

-

-

-

-

E

-

-

D

-

-

-

-

E

H

E

-

-

H

-

-

-

-

D

H

-

-

-

-

H

-

-

D

E

H

-

-

-

-

-

-

-

-

D

E

-

-

E

D

-

-

Пример С4. Однородная прямоугольная плита весом Р со сторонами АВ = 3 а и ВС = 2 а закреплена в точке А сферическим подшипником, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС ₁ (рис. С4, а).

На плиту действуют пара сил с моментом, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Определить реакции связей в точках А, В и С, если Р = 5 Н,

М = 6 Нм, F ₁= 10 Н, a₁ = 30⁰, F ₃ = 30 Н, a₃ = 0⁰, а = 0,5 м.

Решение. Рассмотрим равновесие плиты. Отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями связей (рис. С4, б).

В точке А – сферический шарнир, реакция сферического шарнира проходит через центр шарнира и может иметь любое направление в пространстве. Поэтому представим реакцию сферического шарнира в виде суммы трех составляющих, направленных по координатным осям: , , .

В точке В – цилиндрический шарнир, реакция цилиндрического шарнира проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, поэтому представим реакцию цилиндрического шарнира в виде суммы двух составляющих: и .

Реакция невесомого стержня СС ₁ направлена вдоль стержня.

Для полученной пространственной системы сил составим шесть уравнений равновесия:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Решаем полученную систему уравнений.

Подставим данные задачи.

Х_А + 0,5 R + 8,66 = 0, (1)

- Y_A + Y_B + 0,866 R + 35 = 0, (2)

Z_A + Z_B – 5 = 0, (3)

0,866 R + 17,5 = 0, (4)

-1,5 Z_A - 0,5 R - 6,58 = 0, (5)

-1,5 Y_A + 7,5 = 0. (6)

Из шестого уравнения находим:

Из четвертого уравнения

Из пятого уравнения

Н.

Из третьего уравнения Н.

Из второго уравнения

Н.

Из первого уравнения

Н.

Проверка.

Составим уравнение моментов относительно оси у ₁, параллельной у.

;

Следовательно, реакции определены верно.

Ответ: Х_А = 1,44 Н, Y_А = 5 Н, Z_A = 2,35 Н,

Y_В = -12,5 Н, Z_B = 2,65 Н, R = -20,2 Н.

Знак «минус» указывает, что реакции и направлены противоположно показанным на рис. С4, б.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. -

Т. 1. -СПб, 1998.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М., 1995.

3. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. - Т. 2. -М., 1991.

4. Иванкина О.П. Теоретическая механика. Ч.1. Статика: Руководство к решению задач. – Рязань: МГОУ, 1993.

СОДЕРЖАНИЕ

Порядок выполнения контрольных работ………………………….......
Статика твердого тела (задача С1)………………………………….......
Расчет плоских ферм (задача С2)………………………………….........
Равновесие системы твердых тел (задача С3)………………………….
Пространственная система сил (задача С4)…………………………….
Литература………………………………………………………………..

Дата добавления: 2015-06-04