Пример 3.2

. (3.4)

Решение. Здесь , , следовательно, (3.4) – уравнение в полных дифференциалах. Сгруппируем его члены так:

Тогда

, ,

и уравнение (3.4) можно записать в виде:

или

Следовательно,

есть общий интеграл дифференциального уравнения (3.4).

Интегрирующий множитель. Если условие не выполнено, то дифференциальное уравнение

не является уравнением в полных дифференциалах. Однако это уравнение иногда можно превратить в уравнение в полных дифференциалах, умножив его на подходящую гладкую функцию . Такая функция носит название интегрирующий множитель. Интегрирующий множитель не всегда бывает легко найти.

Чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, должно быть выполнено условие:

,

или

откуда следует

. (3.5)

Если зависит только от (не зависит от ), то можно искать частное решение (3.5) в виде . При этом и (3.5) примет вид:

(3.6)

откуда интегрированием получим .

Аналогичное соотношение для случая имеет вид

. (3.7)

Уравнение (3.7) можно проинтегрировать, если его правая часть не зависит от .

Дата добавления: 2015-06-04