Пример 4.4

(a и b – постоянные).

Решение. Положим , тогда .

или ,

откуда

и .

Общее решение будет иметь вид:

.

В. Уравнение вида разрешимо относительно , т.е. . Полагая , получим . Кроме того, т.е. и . Проинтегрировав, найдем общее решение дифференциального уравнения в параметри-ческой форме:

, .

Пример 4.5.

Решение. Положим , тогда ,

В итоге

, .

Б. 4117. .

Решение. Это - уравнение Клеро. После введения параметра уравнение имеет вид:

. (4.11)

Взяв полный дифференциал и заменив на , получим:

, откуда .

Если , то .

Подставив в (4.11), получаем

, (4.12)

подставив в уравнение , имеем

. (4.13)

Очевидно, что (4.13) может быть получено из (4.12) дифферен-цированием по параметру C, следовательно, в соответствии с изложенным ранее, система уравнений (4.12), (4.13) в параметрической форме описывает особое решение уравнения, графиком которого является огибающая семейства прямых, заданных общим решением (4.12).

Исключив параметр C из системы уравнений (4.12), (4.13), найдем урав-нение огибающей в явном виде:

.

Б. 4123. .

Решение. Введем параметр , получим

. (4.14)

Дифференциал последнего

,

откуда

.

Если , то, сократив на , получим уравнение:

с разделяющимися переменными. Далее

,

откуда

Подставив p в (4.14), находим:

. (4.15)

Если , то из соотношения (4.14) очевидно, что есть частное решение уравнения. Оно является и особым решением. Графиком решения является ось OX, и в каждой точке графика нарушается условие единственности решения, так как каждая из интегральных кривых, определяемых общим решением (4.15), пересекает ось OX.

Примеры для самостоятельного решения: Б. 4118, Б. 4120, Б. 4122, Б. 4125

Дата добавления: 2015-06-04