Вычислимость

Приложение исчисления предикатов к аналитической геометрии

С логическими операциями «дизъюнкция» и «конъюнкция» можно сопоставить алгебраические выражения, содержащие операции abs, +, -, /, *.

Операции , – промежуточные:

;

.

Проверка первой формулы:

– пусть , тогда для левой части получим , а для правой – = = ;

– если , то для левой части получим , а для правой – = = .

Таким образом, имеется возможность с заданной логической функцией, принимающей значение истинности в некоторой области, сопоставить алгебраическую функцию, положительную в этой же области, исходя из уравнений участков границы. Дальнейшее развитие этого подхода заключается в замене модуля функции алгебраическим выражением следующего вида: . Это позволяет представить в аналитическом виде алгебраические эквиваленты дизъюнкции и конъюнкции.

Пусть .

Тогда . Но если каждая из функций положительна, то наименьшая из них также положительна: , или , где .

Аналогично вводится функция

.

Для обеспечения дифференцируемости вводится дополнительное усовершенствование, с помощью которого создаются так называемые R-конъюнкция и R-дизъюнкция:

,

.

Параметр должен удовлетворять неравенству .

С отрицанием сопоставляется предикат следующего вида: если , то .

Пример. Пусть требуется найти аналитическое выражение функции, положительной внутри области, изображенной на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Область, в которой необходимо найти

аналитическое выражение функции

Решение заключается в выполнении нескольких шагов.

1. Запишем уравнения участков границы области:

.

2. Рассмотрим левую часть круга. В этой части области выполняются неравенства Значение истинности принимает логическая функция следующего вида: , где

.

Соответствующая R-функция имеет вид

.

3. Рассмотрим верхнюю правую часть области. В этой части области выполняются неравенства . Значение истинности принимает следующая логическая функция:

,

где .

Последовательно строим соответствующие R-конъюнкции:

,

.

4. Аналогично строим R-функцию , которая принимает положительные значения в правой нижней части заданной области.

5. Наконец, R-функция, описывающая область в целом, является R-дизъюнкцией трех найденных R-функций:

.

Правильность вычислений необходимо проверить. Для этого в прямоугольнике, включающем заданную область, необходимо задать последовательность точек с некоторым шагом по осям Х и Y и в каждой из точек вычислить значение найденной R-функции. Если эта функция в текущей точке положительна, то вывести на экран точку одного цвета, а в противном случае – другого.

Замечание. Построение R-функции неоднозначно. В рассмотренном примере можно было построить R-функцию, положительную внутри области, границами которой являлись бы прямые 2, 3, 4, а затем найти конъюнкцию отрицания найденной функции и функции .

Контрольное задание

В пособии [7, стр. 32-35] выбрать свой вариант и выполнить следующее:

1. Найти уравнения участков границ заданной области, а также соответствующие предикаты, принимающие значение «истина» в заданной области.

2. Построить логическую функцию, истинную в заданной области, используя найденные предикаты. Проверить путем составления программы.

3. Построить аналитическое выражение для функции двух переменных, положительной лишь внутри заданной области. Составить программу для вывода на экран областей уровня полученной функции. Область уровня – множество точек плоскости, для которых выполняется неравенство .

Дата добавления: 2015-06-04