Метод И. Бернулли

Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

, (4.11)

где и - заданные функции, в частности - постоянные.

Особенность ДУ (4.11): искомая функция у и ее производная у' входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (4.11) - метод И. Бернулли и метод Лагранжа.

Решение уравнения (4.11) ищется в виде произведения двух других функций, т. е. с помощью подстановки , где и = и(х) и v = v(x) - неизвестные функции от х, причем одна из них произвольна (но не равна нулю). Действительно любую функцию у (х)можно записать как

,

где v(x) . Тогда . Подставляя выражения у и у' в уравнение (4.11), получаем: или

. (4.12)

Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим ДУ . Итак, , т. е. .

Интегрируя, получаем:

.

Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с = 1. Отсюда

.

Подставляя найденную функцию v в уравнение (4.12), получаем

.

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

, ,

.

Возвращаясь к переменной у, получаем решение

(4.13)

исходного ДУ (4.11).

Пример 4.8. Проинтегрировать уравнение у' + 2· х · у = 2· х.

Решение: Полагаем . Тогда , т. е.

.

Сначала решаем уравнение :

, , .

Теперь решаем уравнение , т.е.

, , .

Итак, общее решение данного уравнения есть

, т.е. .

Дата добавления: 2015-06-04