Способ неопределенных коэффициентов

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть, например, требуется решить уравнение

(9.5)

с начальными условиями , .

Предполагая, что коэффициенты , и свободный член f (x) разлагаются в ряды по степеням , сходящиеся в некотором интервале , искомое решение ищем в виде степенного ряда

(9.6)

с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты и определяются при помощи начальных условий , .

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд (9.6) два раза (таков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции и ее производных в уравнение (9.5), заменив в нем , , f (x) их разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (9.6) сходится в том же интервале и служит решением уравнения (9.5).

Пример 9.5. Найти решение уравнения

, , ,

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение: Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:

, ,

.

Ищем решение уравнения в виде ряда

Тогда

,

.

Из начальных условий находим: , . Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

,

,

,

,

,

…………………………….

Отсюда находим, что , , , ,….

Таким образом, получаем решение уравнения в виде

,

т.е. .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Евстигнеев Ю.Ф., Матвеева О.П. Основы математического анализа: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2006. – 116с.

2. Евстигнеев Ю.Ф. и др. М етодические указания и контрольные задания по дисциплине «Математический анализ» для студентов 1 курса заочного отделения Бакалавриат – Экономика Часть 1. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2012. – 40с.

3. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1/9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288с.: ил.

4. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 2/6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 256с.: ил.

5. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/ под ред. В.И.Ермакова.-М.:ИНФРА-М, 2000.-656с.- ил.

6. Сборник задач по высшей математики для экономистов: Учебное пособие/ под ред. В.И.Ермакова.-М.:ИНФРА-М, 2002.-575с.-ил.

7. Шипачёв В.С. Высшая математика.Учеб.для вузов.-4-е изд., стер.-М.: Высш.школа. 1998.- 479с.:ил.

Дата добавления: 2015-06-04