Пространственная система произвольно расположенных сил. 2 страница

Из уравнения 6^/),подставляя найденное значение ,определяем величину реакции _:

= = = – 4,31 кН;

Зная и ,из уравнения 3^/) определяем величину реакции :

= – Z_A+P – F₂+F_1Z – S·sin60⁰ = – 0,5+8– 4+1– 3,47·( /2) = 1,49 кН;

Из уравнения 2^/), зная , вычисляем значение реакции :

= F_1Y+S·cos60⁰ = +3,47· = 3,47 кН:

Зная , из уравнения 1^/) = – = – (– 4,31) = 4,31 кН;

Проверка:

∑F_AX=0; X_A+X_B=0;

4,31 – 4,31=0;

0 ≡ 0;

∑F_AY=0; Y_A – F_1Y – S·cos60⁰=0;

3,47– – 3,47· =0;

3,47– 3,47=0;

0 ≡ 0,

∑F_AZ=0; Z_A+Z_B – P+F₂ – F_1Z+S·sin60⁰=0;

0,5+1,49 – 8+4 – 1+3,47·( /2)=0;

0 ≡ 0

Результаты расчётов сводим в таблицу 12.

Таблица 12.

, кН	, кН	, кН	, кН	, кН	, кН
- 4,31	3,47	0,5	4,53	1,49	3,47

Пример 2 (к вариантам 11-20):

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (рис.1).

Вес большой плиты Р₁ = 5 кН; вес меньшей плиты Р₂ = 3 кН. На плиты действует пара сил (параллельная плоскости XY) с моментом М = 4 кН·м; сила ( AY) и ее составляющие F_2X = F_2·sin60⁰; F_2Z = F₂·cos60⁰; F₂ = 8 кН; а = 0,6 м; F₁ = 6 кН ( ₁//AY): Определить реакции опор А и В и стержня 1.

Решение:

1. Рассмотрим равновесие плит. На плиты действуют заданные силы ₁ и ₂, пара с моментом М, и ее составляющие F_2X = F₂sin60⁰ = 8· = 6,93 кН; F_2Z = F₂cos60⁰ = 8· = 4 кН; и реакции связей: реакцию сферического шарнира А разложим на три составляющие , , ; цилиндрического подшипника В – на две составляющие и (в плоскости,перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направляем вдоль стержня (рис.2).

1.

2.

3.

4.

Для полученной пространственной произвольной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия:

∑F_AX=0; X_A+F_2X = 0 => = – F_2X = – 6,93 кН; (1)

∑F_AY=0; Y_B+Y_A+F₁=0; (2)

∑F_AZ=0; Z_A – P₂+Z_B – P₁+F_2Z+S=0; (3)

∑М_АХ()=0; – 3аF₁+4a·F_2Z+4a·S – 2a·P₁=0; (4)

∑М_AY()=0; – 2a·Z_A+a·P₂ – a·P₁+3a·F_2X – a·F_2Z=0; (5)

∑М_AZ()=0; 2a·Y_B+2a·F₁+M – 4a·F_2X=0; (6)

Из (6) находим :

= = = = 4,53 кН;

Из (5) находим :

= = = 7,39 кН;

Из (4) находим :

= = = = 3 кН;

Из (3) находим :

= – Z_A+P₂+P₁ – F_2Z – S = – 7,39+3+5 – 4– 3 = – 6,39 кН;

Из (2) находим :

= – Y_B – F₁ = – 4,53 – 6 = – 10,53 кН;

Результаты расчётов сводим в таблицу 13:

Таблица 13.

, кН	, кН	, кН	, кН	, кН	, кН
- 6,93	- 10,53	7,39	4,53	- 6,39	3

Пример 3 (к вариантам 21 – 35)

Однородная прямоугольная пластина АОВС весом удерживается в горизонтальной плоскости, опираясь на стержневой параллелепипед. Стержни соединены друг с другом шарнирно. В узле А приложена сила . Размеры параллелепипеда указаны на рисунке. (рис. 1)

Дано: = 20 кН; = 18 кН; а = 400 см; в = 400 см; с = 450 см.

Определить усилия в стержнях, обозначенных на рис.1 – 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Решение:

1. Рассмотрим равновесие конструкции, состоящей из однородной прямоугольной пластины, закреплённой на стержневом параллелепипеде. В узле А приложена сила . Вес пластины приложен в центре тяжести пластины (на пересечении диагоналей). Усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5, 6 обозначаем соответственно ₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, направляя их по стержням от узла, предполагая, что стержни растянуты. Вводим систему отсчёта ХОУZ. || ; || – (рис. 2).

2. Для полученной пространственной произвольной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия для определения шести неизвестных реакций опор – усилий в стержнях - ₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆. Конструкция статически определима.

Вычислим направляющие косинусы наклонных стержней параллелепипеда – cos α, cos β, sin α, sin β. Так как а = в, то

cos α = cos β = = = 0, 7474

sin α = sin β = = = 0,6644

Σ F_ох = 0; – S₄ ·sin α – S₆ ·sin α = 0; (1)

Σ F_оу = 0; S₂· sin β + Q = 0; (2)

Σ F_оz= 0; – S₁ – S₂ · cos β – S₄· cos α – S₅ – S₆ ·cos α – G = 0; (3)

Σ М_ох ( _к) = 0; – S₃ · b – S₄ · cos α ·b – S₅· b – G · (1/2b) = 0; (4)

Σ М_оу ( _к) = 0; – S₅ · а – G · (1/2а) = 0; (5)

Σ М_оz( _к) = 0; S₄ · sin α · b – Q ·а = 0. (6)

Из уравнения 6) находим численное значение ₄:

₄ = = = 30, 10 кН;

Из уравнения 5) определяем величину реакции стержня 5 – ₅:

₅ = – G = – · 18 = – 9 кН;

Из уравнения 2) находим численное значение усилия стержня

2 – ₂ :

₂ = = = – 30,10 кН;

Из уравнения 1) определяем величину реакции стержня 6 – ₆ :

₆ = – S₄ = 30, 10 кН;

Из уравнения 4) находим численное значение усилия стержня 3 – ₃ :

₃ = – S₄ · cos α – S₅ – G = – 30,10 ∙ 0,7474 + 9 – ∙ 18 = – 22,498 кН;

Из уравнения 3) определяем величину реакции стержня 1 – ₁ :

₁ = – S₂ · cos β – S₃ – S₄ · cos α – S₅ – S₆ ·cos α – G = – 30,10 · 0,7474 + 22,498 – 30,10 · 0,7474 + 9 + 30,10 · 0,7474 – 18 = 36 кН.

Знак «– «в значениях реакций ₅, ₂, ₆ , ₃ указывает на то, что истинное направление этих реактивных сил соответствует противоположному, чем показано на рис. 2, чтобы обеспечить равновесие конструкции.

Результаты расчётов сводим в таблицу 14:

Таблица 14

1, кН	2 , кН	3, кН	4, кН	5, кН	6, кН
36	– 30,10	– 22,498	30, 10	–9	–30, 10

Пример 4 (к схемам №36 – 40)

Рис. 1

Однородное тело под действием наложенных на него связей и приложенных к нему сил находится в равновесии. (рис. 1)

Пренебрегая трением в местах сочленений определить опорные реакции в точках А и В, а также усилия стержня ЕD, поддерживающего тело. Вес стержня не учитывать.

Дано: Р₁= 200 Н; Р₂ = 400; М₁ = 200 Н ∙м; М₂ =400 Н∙м; = 45◦; а = 0,8 м; в = 0,6м; с = 0,4м

Решение:

1. Выполним рис. 2, на котором изображаем все активные (заданные по условию задачи) и реактивные (реакции опор) силы. На тело действуют: сосредоточенная сила ( // АZ); сосредоточенная сила

( // YZ) и её составляющие _1у = Р₁ cos 45◦ = 200 ∙ = 141 Н; Р_1z = P₁ ∙ sin 45◦ = 200 ∙ = 141 Н; пара сил с моментом М₁ (М₁ //АX) и М₂ (М₂//АY)

По принципу освобождаемости от связей мысленно отбрасываем опоры, заменяя их реакциями связей (опор): реакции цилиндрических шарниров (подшипников) А и В разлагаем на две составляющие

(перпендикулярные оси подшипника) – , и , соответственно. Предполагаем, что стержень ED растянут и направляем усилие вдоль стержня от D к E. (рис. 2)

1. Для полученной пространственной произвольной системы сил для определения пяти неизвестных реакций опор – , и , , можно составить шесть уравнений равновесия:

1-й способ решения:

(1) – уравнение не имеет смысла для данной системы сил

(2)

(3)

М₁ + b∙S_ЕД – с∙Р_1у – b∙Р_1z + b∙Р₂ = 0; (4)

– М₂ + а∙ Р_1z – а∙Р₂ – а∙Z_В = 0; (5)

а∙Р_1у + а∙У_В = 0 (6)

Изуравнения 6) вычисляем реакцию :

= – = – Р_1у = – 141 Н;

Подставляем найденную в уравнение 2) и определяем численное значение реакции : = –Y

Из уравнение 4) вычисляем реакцию стержня ЕD:

= = =

= – 498,33 Н;

Из уравнения 5) определяем численную величину реакции :

= = = – 759 Н

Подставляем найденные и в уравнение 3) и вычисляем :

= –S_ЕД + Р_1z – Z_В = – (– 498,33) + 141 – (–759) = 1398,33 Н

Проверка:

∑ F_ВУ1 = 0;

0≡0;

Z_А + S_ЕД – Р_1z + Z_В = 0

1398,33 – 498,33 – 141 –759 = 0

1398,33 – 1398,33 = 0

0≡0;

2-й способ решения:

Вводим систему отсчёта BX Y Z с центром пересечения осей – В.

М₁ + b ∙ S_ЕД – с ∙ Р_1у – b ∙ Р_1z + b ∙ Р₂ = 0; (1َ)

– М₂ + а∙ Р_1z – а ∙ Р₂ – а ∙ Z_В = 0; (2َ)

а∙Р_1у + а∙У_В = 0 (3َ)

М₁ + b ∙ S_ЕД + b ∙ Р₂ – с ∙ Р_1у – b ∙ Р_1z = 0; (4َ)

а∙Z_А – М₂ + а ∙ S_ЕД = 0; (5َ)

– а ∙ У_А = 0 (6َ)

Из уравнения 6َ) Y ;

Из уравнения 1َ) находим численное значение реакции стержня ED - :

= = = – 498,33 Н;

Уравнения 1َ) и 4َ) дублируют друг друга

Из уравнения 2َ) определяем численную величину реакции :

= = = – 759 Н;

Из уравнения 3َ) вычисляем реакцию

У_В = = – Р_1у = – 141 Н;

Подставляем найденную в уравнение 5َ) находим реакцию :

= = = 1398,33 Н

Дата добавления: 2015-06-04