Потенциал поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью и равномерно заряженным бесконечным цилиндром

Потенциал поля - это энергетическая характеристика поля, характеризует потенциальнную энергию, которой обладал бы положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля.

Единица электрического потенциала - вольт (В).

Потенциал поля равнен отношению потенциальной энергии заряда к этому заряду:

Потенциал поля является энергетической характеристикой электрического поля и как скалярная величина может принимать положительные или отрицательные значения.

Физический смысл имеет разность потенциалов поля, так как через нее выражается работа сил поля по перемещению заряда.

Потенциал электрического поля точечного заряда Q в точке:

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

.

(2.5.6)

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Рис. 2.15

Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

27. Потенциал поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью.

Потенциал поля - это энергетическая характеристика поля, характеризует потенциальнную энергию, которой обладал бы положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля.

Единица электрического потенциала - вольт (В).

Потенциал поля равнен отношению потенциальной энергии заряда к этому заряду:

Потенциал поля является энергетической характеристикой электрического поля и как скалярная величина может принимать положительные или отрицательные значения.

Физический смысл имеет разность потенциалов поля, так как через нее выражается работа сил поля по перемещению заряда.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Введем понятие поверхностной плотности заряда >0, численно равной заряду единицы площади:

В силу однородности и изотропности пространства силовые линии поля равномерно заряженной бесконечной плоскости должны быть перпендикулярными к ней и иметь равномерную густоту, что соответствует определению однородности поля Е =const. В качестве "удобной" замкнутой поверхности выберем прямой цилиндр, боковая поверхность которого параллельна силовым линиям (везде на ней 0 и, следовательно, поток сквозь нее равен 0), а торцевые поверхности площадью S - параллельны заряженной плоскости (так что везде на них 1):

Поток однородного поля Е сквозь обе перпендикулярные ему торцевые поверхности S равен просто Е 2S, а заряд, сосредоточенный на участке площадью S заряженной поверхности, равен S:

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями Δ S, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).

	Рис. 2.11	Рис. 2.12

Тогда

Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток Ф_Е через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к. Дляоснования цилиндра

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

;

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

(2.5.1)

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

28. Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Связь между напряжённостью и потенциалом поля. Взаимное расположение силовых и эквипотенциальных линий поля.

При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Эта работа при малом перемещении равна (рис. 1.4.1):

Электростатическое поле обладает важным свойством: Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда. Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями. Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение: Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными. На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение Работа Δ A кулоновских сил на этом перемещении равна

Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δ r. Если это выражение проинтегрировать на интервале от r = r ₁ до r = r ₂, то можно получить

Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю.

Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии спринципом суперпозиции будет складываться из работ кулоновских полей точечных зарядов: Так как каждый член суммы не зависит от формы траектории, то и полная работа A результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.

Свойство потенциальности электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Для этого в пространстве выбирается некоторая точка (0), и потенциальная энергия заряда q, помещенного в эту точку, принимается равной нулю.

Потенциальная энергия заряда q, помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе A ₁₀, которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда q из точки (1) в точку (0):

W _p1 = A ₁₀.

(В электростатике энергию принято обозначать буквой W, так как буквой E обозначают напряженность поля.)

Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства.

Дата добавления: 2015-06-04