Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (y_p) значение как точечный прогноз при x_p = x_k, т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения x. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки , т.е. и соответственно, интервальной оценкой прогнозного значения:

Чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки , обратимся к уравнению линейной регрессии: . Подставим в это уравнение выражение параметра a:

,

тогда уравнение регрессии примет вид:

.

Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки y и ошибки коэффициента регрессии b, т.е.

. (1.23)

Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки s ² остаточную дисперсию на одну степень свободы S ², получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной y:

. (1.24)

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой:

.

Считая, что прогнозное значение фактора x_p = x_k, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, т.е. :

. (1.25)

Соответственно имеет выражение:

. (1.26)

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения y при заданном значении x_k характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки , как видно из формулы, достигает минимума при , и возрастает по мере того, как "удаляется" от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между x_k и x, тем больше ошибка , с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения x_k. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор x находится в центре области наблюдений x и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении x_k от . Если же значение x_k оказывается за пределами наблюдаемых значений x, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько x_k отклоняется от области наблюдаемых значений фактора x.

На графике доверительные границы для представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии (рис. 1.5).

Рис. 1.5 показывает, как изменяются пределы в зависимости от изменения x_k: две гиперболы по обе стороны от линии регрессии определяют 95% -ые доверительные интервалы для среднего значения y при заданном значении x.

Однако фактические значения y варьируют около среднего значения . Индивидуальные значения y могут отклоняться от на величину случайной ошибки e, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S². Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения y должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S.

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения y составит:

. (1.27)

При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения y, но и от точности прогноза значения фактора x. Его величина может задаваться на основе анализа других моделей, исходя из конкретной ситуации, а также анализа динамики данного фактора.

Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака y () может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения, исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезы развития событий.

Дата добавления: 2015-06-30