Найдем центр тяжести сечения (т.С) и главные центральные моменты инерции и

Решение

ПРИМЕР к части II

Исходные данные: Рис.6

Рассмотрим стержень с поперечным сечением, показанным на рис.6. Сечение сложное, его надо разбить на прямоугольные части: 1 фигура а х d; 2 фигура с х d; 3 фигура 0,5 а х d. Размеры а, с, d надо определять через заданный размер «b» в табл.1. Пусть получилось а = 24 см, с = 26,8см, d = 2,6 см.

Сечение имеет одну ось симметрии «Y» - она является главной осью, вторая главная ось Х перпендикулярна первой и проходит через т. С.

Введем произвольные оси и (рис.6) с учетом симметрии фигуры. Положение т. С можно определить так:

13,19 см, где:

- суммарная площадь сечения;

- статический момент сечения относительно оси .

Примечание: если сечение включает прямоугольное отверстие, то при суммировании эта площадь и статический момент считаются отрицательными.

см²; см²;

см²; А = 62,4+69,68+31,2 = 163,28 см.

- координаты центров тяжести каждого прямоугольника вдоль оси :

1,3 см; см;

см

= 2153,84 см³

Определив находим положение т. С и проводим главные центральные оси ХСY.

Для вычисления моментов инерции используем формулу изменения моментов инерции при параллельном переносе осей (верхний индекс в скобках при J определяет номер фигуры, а нижний определяет ось):

отсюда

см⁴

см⁴

см⁴

см⁴

J_x = 23165,8 см⁴

Все оси и совпадают (ввиду симметрии сечения), поэтому

3408,9 см⁴

см⁴; см⁴;

см⁴

Найдем радиус инерции сечения:

11,91 см; 4,57 см

Вычислим координаты точки Р приложения сжимающей силы F в главных центральных осях (см.рис.7):

6 см; 16,21 см

Определим положение нейтральной оси (Н.О) сечения. Для этого вычислим отрезки и , которые Н.О отсекает на осях координат:

см; см

Рисуем сечение стержня в масштабе и, откладывая на этом чертеже отрезки и с учетом знаков, найдем положение Н.О (рис.7).

Пронумеруем все угловые точки сечения т.1.¸12. Нейтральная ось делит сечение на две зоны: сжатую (где расположена т.Р, в которой действует сжимающая сила F) и растянутую. Из рис.7 видно, что в растянутой зоне максимально удаленной от Н.О будет т.6, в в сжатой зоне – т.12.

Если Н.О не пересекает сечение, то все сечение работает на сжатие (растянутой зоны нет).

Рис.7

В любой i -той точке сечения (с координатами ) при внецентренном нагружении нормальные напряжения можно найти по формуле:

. (6)

Условие прочности в т.6 (х ₆ = - 12 см, у ₆ = - = - 13,19 см).

. Отсюда найдем - допускаемую нагрузку из условия прочности в растянутой зоне сечения:

= - 123,70 кН.

Условие прочности в т.12 (х ₁₂ = 6 см, у ₁₂ = Y _р + d = 16,21+2,6=18,81 см).

. Отсюда найдем - допускаемую нагрузку из условия прочности в сжатой зоне сечения:

= - 301,8 кН.

Из этих двух и за общую допускаемую нагрузку [ F ] необходимо принять min (по модулю)

Итак [ F ] = -123,7 кН.

Построим эпюру s _z в сечении колонны.

Согласно (6) - линейно меняются по координатам точек x_i и y_i сечения. Поэтому эпюру s _z можно построить по двум значениям от [ F ]:

1) в т.6 от [ F ] = = -123,7 кН = 3 кН/см².

2) в т.12 от [ F ] = [ F ] (0,02982) = - 3,69 кН/см²

Строим эпюру s _z. Из т.6 проводим перпендикуляр к Н.О, отрезок (6- m). В т.6 под углом 90° к (6- m) отложим = 3 кН/см², получим точку n. Из т.12 проводим отрезок (12- m - L), параллельно Н.О. Отложим = - 3,69 кН/см², равное отрезку (m - L).

Напряжения откладывать в масштабе, смена знаков на эпюре s _z происходит в точке, где отрезок (L - n) пересекается с Н.О. Эпюра s _z показана на рис.7.

Дата добавления: 2015-06-30