Решение. Теоретические вопросы

ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ

Теоретические вопросы

ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Как определяется порядок дифференциального уравнения?

3. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения. Сформулируйте задачу Коши.

4. Что называется изоклиной?

5. Уравнения с разделяющимися переменными.

6. Однородные уравнения

7. Метод Бернулли интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка.

8. Что называется линейным дифференциального уравнения второго порядка?

9. Укажите формулы для решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

10. Укажите вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида..

Пример 1. Решить уравнение .

Данное уравнение относится к классу уравнений с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем:

.

Интегрируя, имеем

или

Тогда: , что эквивалентно уравнению . Полагая , окончательно получаем - общее решение данного уравнения

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Разделим обе части уравнения на . Получим

.

Сделаем замену и уравнение принимает вид , где - новая неизвестная функция. Осталось решить уравнение или Для его решения разделим переменные. Получим . Интегрируя последнее равенство, найдем (произвольную постоянную можно обозначить ). Тогда .

Возвращаясь к исходной неизвестной функции, имеем .

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Разделим уравнение на . Получим линейное уравнение первого порядка. Будем его решать методом Бернулли, т.е. искать решение в виде , где подлежат определению. Поскольку , то уравнение принимает вид

В качестве возьмем любую функцию, такую что , т. е. частное решение уравнения . Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому, умножая его на и деля на , получим

т. е. . Следовательно, (произвольную постоянную полагаем равной нулю).

Подставим найденное v в исходное уравнение, тогда второе слагаемое в правой части обратится в нуль, и для получим уравнение

; .

Отсюда, используя формулу интегрирования по частям, найдем

Возвращаясь к исходной неизвестной функции , находим решение:

Ответ:

Пример 4. Найти частное решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни = 1, = -2 действительные и различные. Общее решение уравнения имеет вид .Найдем частное решение. Для этого продифференцируем найденное решение и подставим значения начальных условий и . Решая полученную систему, найдем . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид .

Ответ: .

Пример 5. Найти частное решение уравнения

.

Дата добавления: 2015-07-02