Методы определения координат центров тяжести

1. Метод симметрии. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести находится соответственно в этой плоскости, на оси или в центре симметрии.

2. Метод разбиения на простейшие тела. Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны или предварительно могут быть определены. В этом случае центры тяжести сложных тел вычисляются по общим формулам. Только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которое разбито тело.

Так для однородной пластинки

; , (16)

где F_i — площадь i- й части плоской фигуры причем ;

x_i, y_i — координаты центров тяжести i -й фигуры.

Проиллюстрируем на примере. Плоскую фигуру, изображенную на рис.2, можно разбить на три части, центры тяжести которых С₁, С₂ и С₃ известны. Они находятся на пересечении диагоналей прямоугольников. Координаты центров тяжести (x₁; y₁); (x₂; y₂); (x₃; y₃) площади F₁, F₂, и F₃. Общая площадь сложной фигуры

.

Используя определение центра тяжести и производя группировку слагаемых под знаком суммы по частям фигуры, на которые она разбита, получим:

Рис. 2

;

.

3. Метод отрицательных масс. Этот способ является видоизменением метода разбиения на части и применяется к телам, имеющим отверстия, если координаты центров масс (центров тяжести) тела без отверстия и отверстий известны. В отличие от обычного метода разбиения на части в формулах (16) площади отверстий входят со знаком минус.

Покажем это на примере. Для определения плоской фигуры, изображенной на рис.3, ее можно разбить на три части. Можно сделать иначе. Дополним нашу фигуру до прямоугольника с помощью F₁ и центром масс С₁ полностью заполнен массой (имеет положительную площадь). Часть фигуры, которую добавили, имеет отрицательную площадь той же плотности. Площадь этой фигуры обозначим F₂, а ее центр масс С₂. Применим метод разбиения на части координаты центра тяжести и определим по формуле:

Рис. 3

; .

4. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определить экспериментально. Метод подвешивания состоит в том, что тело подвешивают на нитях или тросах за различные его точки. Направление нити, к которой подвешено тело, каждый раз будет указывать направление силы тяжести, точка пересечения этих направлений будет центром тяжести тела.

5. Метод взвешивания. Пусть, например, требуется определить положение центра тяжести шатуна. Подвесим шатун в точке А тросом к неподвижной точке О и обопрем его в точке В на платформу весов (рис.4) так, чтобы шатун занял горизонтальное положение. Пусть при этом сила давления шатуна на платформу (а, следовательно, и реакция N платформы, приложенная к шатуну), найденная в результате взвешивания, оказалась по модулю равной G.

Зная вес Р шатуна, расстояние l между точками А и В, можно найти и расстояние h от точки А до центра С тяжести шатуна. Согласно уравнению равновесия

,

откуда

Рис. 4

.

Дата добавления: 2015-07-02