Использование формулы Грина для определения координат центра тяжести пластинок сложной формы в плане

При определении координат центра тяжести пластинок требуется вычислить интегралы по площади фигуры:

, (18)

где — поверхностная плотность.

Для вычисления интегралов в том случае, когда пластинка имеет контур сложной формы, можно использовать прием, основанный на применении формулы Грина. Формула Грина позволяет свести интегрирование по площади к интегрированию по замкнутому контуру, ограничивающему эту площадь. А именно: пусть C — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D — область, ограниченная кривой C. Если функции P = P (x, y), Q = Q (x, y) определены в области D и имеют непрерывные частные производные , то справедливо равенство (формула Грина):

. (19)

Очень часто проводить вычисления центра тяжести и других характеристик сечений (площадь, статические моменты, моменты инерции) удобно численно. При этом сложный контур можно представить в виде замкнутой ломанной, состоящей из множества отрезков. Чем больше степень разбиения криволинейных участков контура набором отрезков, тем выше точность приближения вычисленных значений к точным. Так же выражение для поверхностной плотности можно приблизить степенной функцией.

Тогда для численного вычисления интегралов нужно иметь формулы для вычисления , , и т.д.

Ниже приведен ряд подобных формул с указанием того, какой вариант функций P = P (x, y), Q = Q (x, y) был использован при их построении.

. (20)

; (21)

; (22)

; (23)

; (24)

(25)

Суммирование ведется по всем отрезкам ломанной, и точки (x₁ y₁) – (x₂ y₂) – координаты очередного отрезка.

Так как ломанные составляют замкнутый контур, то слагаемые вида для одного отрезка взаимно уничтожатся. Вариант назначения функций P = P (x, y), Q = Q (x, y) влияет на полученную формулу с точностью до взаимно уничтожаемых слагаемых на замкнутом контуре.

Варианты заданий расчетно-графической работы

по теме «Центр тяжести»

Определить центр тяжести сплошной фигуры, номер рисунка выбрать из предпоследней цифры шифра. В таблице, расположенной под рисунком выбрать номер условия по последней цифре шифра. Например, если шифр заканчивается на 45, то берут рис. 4 и условие 5.

	№1		№1		№2

R (мм)
r (мм)
a (мм)
b (мм)

№3						№4   5
r (мм)
a (мм)
b (мм)
c (мм)

	№5		№6

R (мм)
a (мм)

	№7		№8

R (мм)
r (мм)
a (мм)
b (мм)

№10  

№9  

φ(рад)		p/2	p	p/3	p/6	p/2		p/3	p/6	p
R (мм)
r (мм)
a (мм)

	№11
		№12

№12
R (мм)
r (мм)
a (мм)
b (мм)
c (мм)
d (мм)

	№13
		№13		№14

r (мм)
R (мм)
a (мм)

	№15		№16

R (мм)
r (мм)
a (мм)
b (мм)
c (мм)
d (мм)
e(мм)

	№17		№18

R (мм)
r (мм)
a (мм)

	№19		№20

R (мм)
r( мм)
a (мм)
b (мм)
α(рад)	p/4	p/3	p/4	p/6	p/3	p/3	p/6	p/6	p/3	p/4

	№21		№22

r (мм)
a (мм)
b (мм)
α(мм)	p/6	p/3	p/4	p/4	p/3	p/4	p/6	p/4	p/6	p/3

№24  

№23    

r (мм)
a (мм)
b( мм)

№25    

№26  

№25
r( мм)
a( мм)
b (мм)
c (мм)
d (рад)

№27					№28     4
r (мм)
a (мм)
b (мм)
c (мм)
d( мм)
e (мм)

Дата добавления: 2015-07-02