Особые случаи симплексного метода

Составление и преобразование симплексных таблиц

Алгоритм решения задач линейного программирования симплексным методом:

1. Привести задачу линейного программирования к каноническому виду.

2. Привести систему ограничений (1) к допустимому виду (4) и найти начальное базисное решение. Если начальное допустимое базисное решение отсутствует, то условия задачи противоречивы и оптимального решения нет.

3. Составить первую симплексную таблицу. Если система ограничений (1) приведена к допустимому виду (3), а целевая функция (2) к виду (5), то первая симплексная таблица примет вид ( - базисные переменные, - свободные члены):

										-

4. Предположим, что целевая функция (5) стремится к максимуму. Если задача линейного программирования на минимум , то ее можно свести к задаче на максимум путем умножения целевой функции на , то есть .В этом случае, если в последней строке первой симплексной таблицы (кроме числа ) все числа отрицательные, то есть все , то базисное решение является оптимальным и .

5. Пусть среди чисел имеется хотя бы одно положительное число, причем наибольшее из этих чисел находится в столбце , то есть это и пусть среди чисел этого столбца есть положительные числа. Для каждого такого числа составляем отношение . Из всех таких выражений выбираем наименьшее. Пусть оно соответствует строке (базисному неизвестному ), тогда - строка и - столбец – это разрешающие строка и столбец, а элемент - стоящий на их пересечении – разрешающий элемент.

6. Осуществим переход к новой таблице. Для этого разрешающую строку делим на , чтобы разрешающий элемент был = 1, а затем в -ом столбце с помощью -ой строки получаем нули, умножая строку на соответствующие числа и вычитая их из других строк таблицы. При этом старая базисная неизвестная станет свободной и заменится на новое базисное неизвестное . В результате будет осуществлен переход к новому базису .

7. С новой таблицей возвращаемся к выполнению пункта 4.

Пример 7. Решить симплексным методом задачу линейного программирования:

, (**), , .

Решение.

1. Приведем задачу к каноническому виду. Для этого введем балансовые переменные: (*).

2. Так как балансовые переменные введены с положительным знаком (знаки балансовых переменных совпадают со знаками свободных членов), то они могут быть выбраны в качестве базисных. То есть - базисные переменные, - свободные. Выразим базисные переменные через свободные: . Отсюда - начальное допустимое базисное решение. Целевая функция не зависит от базисных переменных, то есть уже выражена через свободные, следовательно - значение функции в начальном решении.

3. Составим начальную симплексную таблицу используя систему (*) и целевую функцию (**).

								min

Решение не является оптимальным, так как в последней строке есть положительные числа. Максимальное из них равно и соответствует столбцу (разрешающий столбец). Для каждого положительного числа столбца найдем оценку и внесем эти оценки в последний столбец первой симплексной таблицы. Среди оценок выберем минимальную, то есть . Строка соответствующая минимальной оценке будет разрешающей. Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки является разрешающим, то есть - разрешающий.

4. Осуществим переход ко второй симплексной таблице.

Для этого разрешающую (первую) строку разделим на , чтобы разрешающий элемент был равен 1. Затем в разрешающем столбце необходимо получить все нули, кроме разрешающего элемента. При этом базисная переменная станет свободной, а - базисной. Для этого первую строку (после деления на ): вычтем из второй строки (),вычтем из третьей строки (), умножим на и вычтем из четвертой строки ().

	1/3		5/3	1/3
	2/3		-2/3	-1/3
	5/3		7/3	-1/3
			-4	-1			-15	min

Решение не является оптимальным, так как в последней строке есть положительное число , соответствующее столбцу (разрешающий столбец). Для каждого положительного числа столбца найдем оценку и внесем эти оценки в последний столбец второй симплексной таблицы. Среди оценок выберем минимальную, то есть . Строка соответствующая минимальной оценке будет разрешающей. Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки является разрешающим, то есть - разрешающий.

5. Осуществим переход к третьей симплексной таблице.

Для этого разрешающую (вторую) строку разделим на , чтобы разрешающий элемент был равен 1. Затем в разрешающем столбце необходимо получить все нули, кроме разрешающего элемента. При этом базисная переменная станет свободной, а - базисной. Для этого вторую строку (после деления на ): умножим на и вычтем из первой строки (); умножим на и вычтем из третьей строки (); вычтем из четвертой строки ().

				1/2	-1/2
			-1	-1/2	3/2
				1/2	-5/2
			-3	-1/2	-3/2		-18	min

Так как в последней строке нет положительных чисел, то из третьей симплексной таблицы - оптимальное решение, .

Задания для решения в аудитории

1. Решить симплексным методом задачу линейного программирования: , , , .

При решении задач линейного программирования симплексным методом могут встретиться особые случаи:

1. Если целевая функция на максимум (), в последней строке симплексной таблицы нет положительных чисел, но при этом хотя бы одно из чисел последней строки стоящее в столбце для свободной переменной, равно нулю, то задача имеет бесконечное множество решений.

2. Если целевая функция на максимум (), в последней строке есть хотя бы одно положительное число, но в столбце, соответствующем этому числу, положительных чисел нет, то задача не имеет оптимального решения ()

Пример 8. Решить симплексным методом задачу линейного программирования:

, (**), , .

Решение.

1. Приведем задачу к каноническому виду. Для этого введем балансовые переменные: (*).

2. Так как балансовые переменные введены с положительным знаком (знаки балансовых переменных совпадают со знаками свободных членов), то они могут быть выбраны в качестве базисных. То есть - базисные переменные, - свободные. Выразим базисные переменные через свободные: . Отсюда - начальное допустимое базисное решение. Целевая функция не зависит от базисных переменных, то есть уже выражена через свободные, следовательно - значение функции в начальном решении.

3. Составим начальную симплексную таблицу используя систему (*) и целевую функцию (**).

								min

Решение не является оптимальным, так как в последней строке есть положительные числа. Все числа одинаковые, выберем любое, например число в столбце (разрешающий столбец). Для каждого положительного числа столбца найдем оценку и внесем эти оценки в последний столбец первой симплексной таблицы. Среди оценок выберем минимальную. Таких оценок две, выберем любую, например . Строка соответствующая минимальной оценке будет разрешающей. Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки является разрешающим, то есть - разрешающий.

4. Осуществим переход ко второй симплексной таблице.

Для этого разрешающую (третью) строку разделим на , чтобы разрешающий элемент был равен 1. Затем в разрешающем столбце необходимо получить все нули, кроме разрешающего элемента. При этом базисная переменная станет свободной, а - базисной. Для этого третью строку (после деления на ): вычтем из первой строки (); умножим на и вычтем из второй строки (); вычтем из четвертой строки ().

	1/4	3/4				-1/4
	-1/4	1/4				-3/4
	3/4	1/4				1/4
	1/4	3/4				-1/4	-3	min

Решение не является оптимальным, так как в последней строке есть положительные числа. Выберем максимальное из них , соответствующее столбцу (разрешающий столбец). Для каждого положительного числа столбца найдем оценку и внесем эти оценки в последний столбец второй симплексной таблицы. Среди оценок выберем минимальную, то есть . Строка соответствующая минимальной оценке будет разрешающей. Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки является разрешающим, то есть - разрешающий.

5. Осуществим переход к третьей симплексной таблице.

Для этого разрешающую (вторую) строку разделим на , чтобы разрешающий элемент был равен 1. Затем в разрешающем столбце необходимо получить все нули, кроме разрешающего элемента. При этом базисная переменная станет свободной, а - базисной. Для этого вторую строку (после деления на ): умножим на и вычтем из первой строки (); умножим на и вычтем из третьей строки (); умножим на и вычтем из четвертой строки ().

					-3
	-1					-3		-
					-1
					-3		-3	min

Решение не является оптимальным, так как в последней строке есть положительные числа. Выберем максимальное из них , соответствующее столбцу (разрешающий столбец). Для каждого положительного числа столбца найдем оценку и внесем эти оценки в последний столбец второй симплексной таблицы. Среди оценок выберем минимальную, то есть . Строка соответствующая минимальной оценке будет разрешающей. Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки является разрешающим, то есть - разрешающий.

6. Осуществим переход к четвертой симплексной таблице.

Для этого разрешающую (первую) строку разделим на , чтобы разрешающий элемент был равен 1. Затем в разрешающем столбце необходимо получить все нули, кроме разрешающего элемента. При этом базисная переменная станет свободной, а - базисной. Для этого первую строку (после деления на ): умножим на и вычтем из второй строки (); вычтем из третьей строки (); умножим на и вычтем из четвертой строки ().

	1/2			1/2	-3/2
	1/2			3/2	-1/2
	1/2			-1/2	1/2
				-1			-7	min

В последней строке симплексной таблицы нет положительных чисел, но при этом есть числа стоящие в столбцах для свободных переменных, равные нулю (при и ). Следовательно, максимальное значение функции . Это значение может быть достигнуто на бесконечном множестве решений. Одним из решений этого множества является . Для того чтобы найти следующее решение перейдем к пятой симплексной таблице.

7. В последней строке нет положительных элементов. Выберем столбец соответствующий свободной переменной и содержащий ноль в последней строке, например столбец . Среди элементов этого столбца имеется только один положительный . Выберем его в качестве разрешающего. Далее третью строку разделим на , чтобы разрешающий элемент был равен . После деления на третью строку прибавим к первой и ко второй. При этом базисная переменная станет свободной, а - базисной.

			-1		-2
			-1		-1
				-1
				-1			-7	min

Получено новое решение . При этом выполненные преобразования не повлияли на значение целевой функции: . Таким образом улучшить целевую функцию нельзя, она достигла возможного максимума.

Дальнейшие преобразования симплексных таблиц можно выполнять бесконечно, при этом будут получаться различные оптимальные решения.

Задания для решения в аудитории

1. Решить симплексным методом задачу линейного программирования: , , , .

2. Решить симплексным методом задачу линейного программирования: , , , .

Задания для самостоятельной подготовки

Решить задачи линейного программирования симплексным методом , :

1) 2) 3)

Ответы: 1. . 2. , , . 3. Оптимального решения нет, .

Дата добавления: 2015-06-27