Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, y, z

Ах + By. + Cz + D = 0. (12.4)

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например В ≠ 0, перепишем уравнение (12.4) в виде

А(х -0) + B + C(z - 0) = 0 (12.5)

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравне­ния (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным векто­ром = (А; В; С), проходящей через точку M₁ ( 0; - ; 0).

Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если D = 0, то оно принимает вид Ах + By + Cz = 0. Этому урав­нению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Следовательно, в этом случае плос­кость проходит через начало координат.

2. Если С = 0, то имеем уравнение Ах + By + D = 0. Нормальный вектор = (А; В; 0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна оси Oz; если В = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — парал­лельна оси Ох.

3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Oz, т. е. плоскость Ах + By = 0 проходит через ось Oz. Аналогично, уравнениям By + Cz = 0 и Ах + Cz = 0 отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.

4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид Cz + D = 0, т. е. z = - . Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, урав­нениям Ах + D = 0 и By + D = 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.

5. Если А = В = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид Cz = 0, т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Oxz; х = 0 — уравнение плоскости Oyz.

Дата добавления: 2015-06-28