Пересечение прямой с плоскостью

Общие сведения о позиционных задачах

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. С какой целью выполняют преобразования комплексного чертежа?

2. Назовите способы преобразования комплексного чертежа.

3. Какие основные задачи решаются путем преобразования чертежа?

4. В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?

5. В чем заключается замена плоскостей проекций?

6. Какие задачи можно решать путем замены двух плоскостей проекции?

7. Как надо расположить новые плоскости проекций, чтобы отрезок прямой общего положения спроецировался в натуральную величину, в точку?

8. Как нужно расположить новую плоскость проекций, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей?

9. При каком расположении плоской фигуры можно определить ее истинную величину путем замены только одной плоскости проекции?

10. В чем сущность преобразования чертежа способом вращения?

11. Какие линии используются в качестве осей вращения?

12. Как изменяется фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой?

Глава 10. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Задачи, связанные с решением вопросов взаимного расположения геометрических фигур на комплексном чертеже, называются позиционными.

Среди позиционных можно выделить две группы задач, представляющих наибольший практический интерес. К ним относятся задачи на взаимную принадлежность и задачи на взаимное перенесение. Задачи первой группы неоднократно упоминались при изучении глав 7 и 8. Это объясняется, тем, что любая линия есть производная точки, а любая поверхность есть производная линии. Конкретно вопросы принадлежности точки прямой рассмотрены в § 44, принадлежности точки и прямой плоскости в § 49, а принадлежности точки и линии поверхности в § 55.

Решение позиционных задач на принадлежность предполагает работу с линиями поверхности графически простыми, например прямой или окружностью. Это необходимо для того, чтобы не усложнять построений на комплексном чертеже. Для правильного выбора этих линий надо знать, какие семейства линий несет на себе та или иная поверхность.

Задачи на взаимное пересечение связаны с построением точек, принадлежащих одновременно двум рассматриваемым геометрическим образам, например прямой и плоскости, двум плоскостям, плоскости и поверхности, двум поверхностям. Каждую из этих точек строят в пересечении двух вспомогательных линий. Эти линии должны быть графически простыми и принадлежать одной вспомогательной плоскости или поверхности. Выбор вспомогательных, поверхностей (посредников), несущих в себе вспомогательные линии, зависит от формы пересекающихся поверхностей. Совокупность построенных общих точек позволяет построить линию пересечения геометрических образов.

Прямая пересекает плоскость в одной точке. Точку пересечения прямой с плоскостью определяют путем построения вспомогательной прямой линии, лежащей в одной проецирующей плоскости с заданной прямой. На рис. 119, а приведен комплексный чертеж прямой l и плоскости Ө (ABC), причем т ~ Ө (ABC). Через горизонтальную проекцию прямой l1 проводим проекцию вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости Σ1. В пересечении плоскостей Ө и Σ получаем линию т, то есть m = Σ ∩ Ө. Горизонтальная проекция прямой т определяется горизонтальными проекциями точек 1 и 2 пересечения линий ЕС и АС со вспомогательной плоскостью Σ, то есть В1С1∩ Σ = l1; А1С1 ∩ Σ 1=21; m1 = l1 ∩ 2₁.

Рис. 119

Рис. 120

Рис. 121

Для получения фронтальной проекции линии l построим фронтальные проекции точек 1 и 2, соединив которые, получим фронтальную проекцию m2. В пересечении фронтальных проекций прямых m и l получим фронтальную проекцию точки К, принадлежащей и прямой l, и прямой т, лежащей в плоскости Σ. Значит, точка К и принадлежит плоскости Σ, и является точкой пересечения прямой l с плоскостью Σ.

Видимость прямой и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально конкурирующих точек 2 и 3, а видимость относительно фронтальной плоскости проекции — с помощью фронтально конкурирующих точек 3 и 4.

Если плоскость занимает частное положение, то одна проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется сразу в пересечении вырожденной проекции плоскости с соответствующей проекцией прямой (рис. 119, б).

Если прямая пересекает плоскость под прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня плоскости на основании теоремы о проецировании прямого угла (см. § 29).

На рис. 120 построены проекции основания М перпендикуляра п, проведенного к плоскости 9 (ABC) из точки К пространства. В ∆AВС имеем: АВ — горизонталь (A2B2 _|_ A2A1), AC — фронталь (А1С1 _|_A1A2). Поэтому проекции перпендикуляра n э К располагаются: п ¹ _|_A1B1 и n² _|_ А2С2. Основание перпендикуляра на плоскости построено с помощью вспомогательной линии а плоскости, лежащей в одной с перпендикуляром п горизонтально проецирующей плоскости (а ∩ п = М).

Если прямая пересекает плоскость в бесконечности, то имеет место параллельность прямой с плоскостью. На рис. 121 построена прямая т, проходящая через точку N и параллельная плоскости треугольника KLM. На комплексном чертеже параллельность прямой и плоскости доказывается тем, что m₁ || а₁ и m₂ || а₂; a € KLM.

Дата добавления: 2015-06-28