Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами

Пусть два проводящих цилиндра радиусами и соответственно расположены в среде с диэлектрической проницаемостью на расстоянии. Напряжение между цилиндрами равно. Длина цилиндров столь велика, что искажением поля у торцов цилиндров можно пренебречь (,).

Разместим электрические оси так, чтобы поверхности цилиндров стали эквипотенциальными поверхностями в поле этих осей. Геометрические оси цилиндров обозначим соответственно и (рис. 2.9).

Положение электрических осей относительно геометрических (h₁, h₂, b) определяем из соотношений:

Значения потенциалов на поверхностях проводящих цилиндров рассчитаем следующим образом.

Оба цилиндра расположены в полуплоскости положительно заряженной оси, следовательно, и.

и.

Тогда потенциал поверхности внутреннего цилиндра равен:

.

Потенциал поверхности внешнего цилиндра получим в виде

.

Напряжение между цилиндрами запишем как

.

Поскольку напряжение известно по условию задачи, найдем заряд на единицу длины:

.

Следовательно, емкость цилиндров на единицу длины равна:

.

2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"

Цилиндрический провод расположен над проводящей плоскостью (землей). Заданны радиус провода R, высота подвески h (радиус R соизмерим с высотой h). К проводу приложено постоянное на­пряжение U.

Согласно второму следствию из теоремы единственности заменим прово­дящую среду диэлектриком, а поверхностные заряды провода и земли - двумя разноименно заряженными осями +t и -t так, чтобы остались неизменными прежние граничные условия:

1) поверхность земли должна быть эквипотенци­альной с потенциалом = 0;

2) поверхность провода должна быть эквипотен­циальной с потенциалом = U. Чтобы выполнить эти условия, электрическая ось +t должена быть смещена относительно геометрическиой оси на неко­торое расстоя­ние h-b. Поверхностные заряды земли заменим зеркальным зарядом с противоположным знаком: - t.

Положение электрических осей определяется из теоремы Аполония:

Таким образом, электростатическое поле, создаваемое двумя проводами с поверхно­стными зарядами σ, будет эквивалентным полю, которое создается двумя разноименно заря­женными осями +t и -t, и для его расчета можно при­менить полученные ранее формулы:

Потенциал провода:

.

Из полученного выражения вытекают расчетные формулы:

.

Если высота подвеса провода намного больше его радиуса, то смещением электриче­ских осей можно пренебречь (h - b 0) и считать, что электрические оси проводов совпадают с геометрическими осями. В этом случае расчетные формулы будут иметь вид:

.

Дата добавления: 2014-01-03