Решение матричных уравнений

Лекция 3. Решение матричных уравнений

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

(6)

Поскольку rаng А =rang(A│0), то однородная система всегда совместна, всегда имеет нулевое (тривиальное) решение x₁=x₂=…=x_n=0).

Когда однородная система имеет ненулевые решения?

Теорема 1. Для того, чтобы однородная система (6) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был меньше числа неизвестных: rаng А= r < n.

Теорема 2. Для того, чтобы квадратная однородная система (6) (при m=n) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель основной матрицы системы был равен нулю.

Решение однородной системы (6) будем рассматривать как n-мерный вектор x⁰=(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰).

Теорема 3. Совокупность всех решений однородной системы образует линейное пространство.

Теорема 4. Если rаng А= r, а число неизвестных однородной системы равно n, то размерность пространства решений однородной системы равна n-r.

Определение. Совокупность (n - r) линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений.

Теорема 5. Если образуют фундаментальную систему решений, то общее решение Х однородной системы можно представить в виде X = C₁ X₁+C₂ X₂+…+C_n-r X_n-r, где C₁, C₂,…, C_n-r –произвольные постоянные.

Дата добавления: 2014-01-03