При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.

Решение матричных уравнений

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Собственные векторы и собственные значения матрицы

1) Рассмотрим матричное уравнение вида А·Х = В, где А – невырожденная квадратная матрица порядка m, В – матрица размера m ⤫ р, А и В – известные матрицы. Чтобы найти неизвестную матрицу Х размера m ⤫ р умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу А^-1 – обратную к матрице А: А^-1 ·А·Х = А^-1·В. Учитывая, что А^-1 ·А = Е, где Е –единичная матрица порядка m, получим решение матричного уравнения:

Х = А^-1·В.

2) При решении матричного уравнения вида Х·А = В, в котором А – известная невырожденная квадратная матрица порядка m, В –известная матрица размера р ⤫ m, умножают обе части матричного уравнения справа на матрицу А^-1 – обратную к матрице А: Х·А· А^-1 = В· А^-1, после чего получают решение:

Х = В·А^-1.

3) Пусть в матричном уравнении вида А·Х·В = С матрицы А, В, С известны, причем А - невырожденная квадратная матрица порядка m, В – невырожденная квадратная матрица порядка р, а известная матрица С размера m ⤫ р. Умножим обе части исходного матричного уравнения слева на обратную к матрице А и справа на обратную в матрице В:

А^-1 ·А·Х· В· В^-1 = А^-1·С· В^-1, откуда получим решение матричного уравнения: неизвестная матрица Х размера m ⤫ р имеет вид:

Х = А^-1·С ·В^-1.

Замечания.

2) Найти необходимые обратные матрицы к заданным квадратным матрицам исходного уравнения.

3) Найти решение матричного уравнения путем перемножения матриц в правой части уравнения.

Примеры

1. Решить матричное уравнение

Решение

Уравнение вида А·Х = В, определитель матрицы А = равен -1, матрица А невырожденная. Найдем обратную к ней А^-1:

А^-1= = (-1) =

Найдем теперь неизвестную матрицу:

Х = А^-1·В =

2. Решить матричное уравнение:

Решение

Уравнение вида Х·А = В, det A = 2, найдем обратную к матрице А. Матрица алгебраических дополнений имеет вид:

, тогда

обратная матрица А^-1= =

Решение матричного уравнения

Х = В·А^-1 = =.

3. Решить матричное уравнение

Решение

Это матричное уравнение вида А·Х·В = С.

Для матриц А = и В = существуют обратные, так как определители этих матриц отличны от нуля: det A = 7, а det В = -2.

А^-1 = и В^-1 =, и решение матричного

уравнения имеет вид:

Х = А^-1·С ·В^-1 =

Дата добавления: 2014-01-03