Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей единственным образом.

Вид разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших зависит от корней знаменателя.

Пусть рациональная дробь имеет вид, при этом возможны такие ситуации.

1) Все корни знаменателя действительные и простые:. В этом случае правильная рациональная дробь представляется в виде суммы дробей первого типа следующим образом:, где

Пример..

2) Корни – действительные, причем некоторые из них кратные, тогда, и правильная рациональная дробь представляется в виде суммы дробей первого и второго типа:

.

Пример..

3) Среди корней есть комплексно-сопряженные простые корни, то есть, тогда каждому квадратному трехчлену с отрицательным дискриминантом соответствует дробь третьего типа:

4) Среди корней знаменателя есть комплексно-сопряженные кратные корни, то есть. В этом случае рациональная дробь представима в виде суммы дробей первого, второго, третьего и четвертого типов.

Замечание. Коэффициенты разложения правильных рациональных дробей на сумму простейших дробей находят методом неопределенных коэффициентов, который заключается в том, что сумма правых частей разложения с неизвестными коэффициентами приводится к общему знаменателю, а затем приравниваются числители левой и правой частей. Составляются уравнение или система уравнений, в которых приравниваются коэффициенты при соответствующих степенях x слева и справа. Приравнивать коэффициенты начинают со степеней х, на единицу меньших степени знаменателя исходной правильной рациональной дроби.

Пример.

.

Чтобы определить неизвестные коэффициенты, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х, начиная со второй степени:

Дата добавления: 2014-01-03