Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации

Выше мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном пространстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие скалярного произведения.

Определение1. Линейное пространство Е называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, которая любым двум векторам этого пространства ставит в соответствие вещественное число

((х, у)→α);

операция скалярного произведения определяется следующими аксиомами:

1) (х, у) = (у, х);

2) (х + у, z) = (x, z) +(y, z);

3) (λх, у) = λ(x, y) для;

4) (х, x); (х, x) = 0 х

Величину называют нормой или длиной вектора х.

Вектор, длина которого равна единице, называют нормированным.

Для любых двух векторов х и у евклидова пространства справедливы

1) неравенство Коши- Буняковского | (x, y) | ²(x, x) ∙ (y, y)

2) неравенство треугольника | (x + y) | | x | +| y |.

Величину φ, определяемую из соотношения cos φ=, называют углом между векторами x и y.

Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, при этом cos φ=0 и φ= π/2.

Определение 3. Система векторов называется ортогональной, если любые два вектора этой системы ортогональны.

Определение 4. Базис (е₁ , е₂ , …, е _n ) называют ортонормированным, если

(e_i., e_j) =

Если в евклидовом пространстве размерности n задан произвольный базис (f₁, f₂ , …, f_n), то с помощью процесса ортогонализации Грама- Шмидта по нему можно построить ортонормированный базис

(е₁ , е₂ , …, е_n):

g₁= f₁, е₁ =,

g₂ = f₂ – (f₂ , е₁)∙ е₁, е₂ =,

g₃ = f₃ – (f₃ , е₁)∙ е₁ -(f₃ , е₂)∙ е₂ , е₃ =,

………………………………………………………………

g_n = f_n – (f_n, е₁)∙ е₁ -(f_n, е₂)∙ е₂ -…-(f_n, е_n-1)∙ е_n-1 , е_n =.

В ортонормированном базисе (е₁ , е₂ , …, е_n) скалярное произведение векторов х и у находят по формуле

(х, у) = х₁у₁ + х₂у₂ + … + х_i y_i + … + x_n y_n.

Пример. Методом ортогонализации построить ортонормированный базис по базису евклидова пр-ва

₁=, ₂=

₁= _1, ; ₁= = =

₂= ₂ - (₂, ₁) ∙ ₁= - ∙

₂=

; ₁┴ ₂

Ответ: ₁= ₂=.

69.12.5. n- мерное арифметическое пространство Rⁿ. Скалярное произведение n-мерных векторов, длина вектора. Угол между n-мерными векторами

Множества всех плоских или пространственных векторов, в которых определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства Rⁿ.

Определение 1. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х = (х₁, х₂, …, х_i, …, x_n), где х_i - i – я компонента вектора х.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = (х₁, х₂, …, х_i, …, x_n), а соответствующие цены - вектором у = (у₁, у₂, …, у_i, …, у_n).

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х = у, если х_i = у_i, i = 1, 2, …, n.

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

z_i =x_i+y_i, I = 1,2, …, n.

Произведением вектора х на действительное число λ называется вектор u = λ х, компоненты u_i которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора х, т.е. u_i = λ x_i.

Нулевым n-мерным вектором называется вектор, все компоненты которого равны нулю: О = (0, 0, …, 0, … 0).

Противоположным к вектору х = (х₁, х₂, …, х_i, …, x_n) называется вектор

- х = (- х₁, - х₂, …, -х_i, …,- x_n).

Определение 2. Множество всех n-мерных векторов с введенными в нем операциями сложения векторов и умножения векторов на действительные числа называется n-мерным арифметическим пространством и обозначается Rⁿ.

Пространство Rⁿ является линейным пространством.

Определение 3. Скалярным произведением двух n-мерных векторов

х = (х₁, х₂, …, х_i, …, x_n) и у = (у₁, у₂, …, у_i, …, у_n) называется

число (х, у) = х₁у₁ + х₂у₂ + … + х_i y_i + … + x_n y_n =.

Пространство Rⁿ является евклидовым пространством, так как в нем определено скалярное произведение элементов.

Длина п -мерного вектора вычисляется по формуле =.

Угол φ между двумя п -мерными векторами определяется по формуле

φ=arccos =.

Дата добавления: 2014-01-03