Введение 1 страница. Учебная дисциплина «Математика (экономико-математические модели)» нацелена на предоставление возможностей студентам получить теоретические знания в области

Учебная дисциплина «Математика (экономико-математические модели)» нацелена на предоставление возможностей студентам получить теоретические знания в области методологии экономико-математического моделирования, организации процесса составления экономико-математических моделей, а также практические навыки разработки моделей для решения основных управленческих задач на уровне государства и предприятия.

Настоящая методическая разработка составлена в соответствии с программой дисциплины и предназначена для проведения практических занятий, а также для организации самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины «Математика (экономико-математические модели)».

Методическая разработка направлена на закрепление теоретического материала, полученного студентами на лекциях, посредством решения прикладных задач по построению оптимизационных моделей в процессе принятия управленческих решений, позволяя оценить их методологические особенности. Практические задачи представлены различной степени сложности и предусматривают возможность использования программных продуктов (таких как MS Excel) в задачах эффективного управления производством и финансами.

Задания методической разработки составлены на базе практического материала промышленных предприятий, включая отраслевые особенности хозяйственной деятельности, и разработаны с учетом реальных условий принятия управленческих решений.

Выполнение практических заданий предполагается в индивидуальном порядке на персональном компьютере с использованием знаний, полученных студентами при изучении курса "Экономика фирмы" (по основам разработки производственной программы с учетом спроса на продукцию, заключенных договоров и расчету производственной мощности, режимного и эффективного фонда времени работы оборудования) и "Математика" (экономико-математические модели задач линейного программирования).

Каждая тема методической разработки может быть рассмотрена в процессе как аудиторных занятий, так и самостоятельной работы студентов в соответствии с календарно-тематическим планом дисциплины.

Контроль за выполнением заданий по каждой теме осуществляется в промежуточной форме (решение задач, общих для всей группы) и в форме итоговой контрольной работы (решение индивидуальных заданий для каждого студента, приведенных в приложениях 1-7). При этом сдаваемая на проверку работа должна включать построение экономико-математической и формализованной модели задачи, ее количественное решение и экономический анализ полученных результатов.

Тема 1. Роль моделирования в развитии экономической науки. Этапы развития мировой школы ЭММ

Вопросы для обсуждения

1. Предмет и задачи курса. Место и роль математического моделирования в развитии экономической науки и практики.

2. Понятие модели и моделирования

3. Основные этапы становления и развития школы экономико-математического моделирования (ЭММ). Имена российских и зарубежных ученых экономистов, внесших вклад в развитие школы экономико-математического моделирования

Практическое задание

Представить последовательность этапов развития экономико-математического моделирования с увязкой с объективными причинами необходимости их использования в экономике и управлении

Контрольные вопросы

1. Понятие модели.

2. Понятие моделирования.

3. Понятие экономико-математического моделирования.

4. Способы представления экономико-математических моделей.

Задание для самостоятельной работы

Представьте классификацию разделов математического моделирования, в развитие которых внесли вклад российские ученые, в виде таблицы:

Таблица 1

Наименование раздела экономико-математического моделирования	Фамилия, имя, отчество ученого	Название направления, темы, задачи

Рекомендуемая литература

1. Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В.В.Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2005. – С. 5-10.

2. Экономико-математическое моделирование: учебник / Под ред. проф. И.Н.Дрогобыцкого.Финансовая академия при правительстве РФ. – М.:ЭКЗАМЕН, 2004. - С. 13-23.

Тема 2.Основы экономико-математического моделирования

Вопросы для обсуждения

1. Основные положения теории моделирования. Экономико-математические модели.

2. Схема процесса моделирования. Последовательность и содержание этапов процесса моделирования

3. Проблемы составления экономико-математические моделей.

4. Классификация экономико-математических моделей

Практическое задание

Составьте перечень основных особенностей экономико-математических моделей, отличающих их от моделей в других областях науки и техники.

Контрольные вопросы

1. В процессе подготовки задачи (модели) к решению выявились трудности с получением необходимого объема информации. Какой Вы можете предложить выход в этой ситуации?

2. Понятие системного подхода к анализу социально-экономических систем и процессов

3. Предметом применения экономико-математического моделирования являются экономические объекты и процессы? В чем разница?

4. Охарактеризуйте взаимное влияние моделирования и компьютеризации.

5. Можно ли модель одного и того же объекта отнести к разным классификационным группировкам?

6. Что означает утверждение, что в идеологии моделирования заложена возможность самосовершенствования?

7. Может ли нарушаться последовательность этапов процесса моделирования, приводящая к необходимости возврата от какого либо этапа к предыдущему? Приведите примеры.

Задание для самостоятельной работы

1. Приведите примеры экспериментов в экономике на уровне отрасли (ведомства), региона, цеха, предприятия, вуза с указанием необходимости эксперимента, целей, задач, ресурсов (участников), и укажите, какие управленческие решения были приняты на основе полученных результатов.

2. Сформулируйте практические задачи экономико-математического моделирования.

3. Могут ли результаты моделирования использоваться непосредственно как готовые управленческие решения?

4. Дайте определение понятия адекватности модели. Перечислите способы (приемы) и проблемы проверки адекватности экономико-математической модели.

Рекомендуемая литература

1. Экономико-математические методы и прикладные модели / под ред. Федосеева В.В. – М.: ЮНИТИ, 2005. – С. 7-17.

2. Экономико-математические модели в антикризисном управлении: уч.пособие /Под ред.Р.С.Харитоновой. – Казань: Изд-во КГФЭИ, 2008. – С. 6-17.

Тема 3. Экономика как объект управления и теоретические предпосылки ее оптимизации

Вопросы для обсуждения

1. Сущность оптимизации социально–экономических процессов.

2. Основные исходные предпосылки оптимизации экономических решений.

3. Необходимость учета ограниченности и взаимозаменяемости ресурсов в оптимизационных моделях.

Практические задания

Задача 1. Небольшая строительная компания специализируется на строительстве и продаже домов на одну семью. Компания предлагает два основных типа домов: модель А и модель В. Дома модели А требуют 4000 часов рабочего времени, 2 тонны камня и 2000 кв.футов пиломатериалов. Дома модели В – 10000 часов рабочего времени, 3 тонны камня и 2000 кв.футов пиломатериалов. Из-за больших сроков поставки материалов и дефицита квалифицированной и полуквалифицированной рабочей силы в данной местности, компании придется ограничиться уже имеющимися ресурсами в течение наступающего строительного сезона: это около 400000 часов рабочего времени, 150 тонн камня и 200000 кв.футов пиломатериалов. Сколько моделей А и В должна произвести компания, если прибыль от модели А 1000 долл. за единицу, а модели В – 2000 долл. за единицу? Предполагается, что компания может продать все построенные дома.

1. Подготовьте ответы на следующие вопросы:

a) что является критерием оптимальности в задаче?

b) какие ограничения должны быть учтены при построении модели?

c) разработайте табличную и математическую модель задачи,

2. Введите данные задачи в лист Excel и решите задачу в режиме ПОИСК РЕШЕНИЯ. Сохраните найденное решение, выведите на печать содержимое листа.

3. По данным распечатки ответить на следующие вопросы:

a) какова структура найденного плана?,

b) какие предполагаются объемы выпуска домов каждой модели?,

c) значение критерия оптимальности?,

d) все ли ресурсы используются полностью?,

e) вычислите коэффициент использования каждого из ресурсов.

Контрольные вопросы

1. Требования к структуре оптимизационной модели.

2. Порядок решения задач оптимизации в Excel.

3. Структура электронной таблицы (ЭТ), используемой для решения оптимизационной задачи.

4. Понятие целевой ячейки и изменяемых ячеек.

5. Особенности ввода формул в электронную таблицу Excel.

Задания для самостоятельной работы

Решите нижеприведенные задачи и подготовьте ответы на вопросы пункта 3 раздела П рактические задания темы 3.

Задача 1. Производитель бытовых электроприборов производит две модели микроволновых печей: модель H и модель W. Изготовление каждой модели включает в себя процесс изготовления и сборки деталей; каждая единица модели Н требует четырех часов изготовления и сборки деталей, модель W – два и шесть часов соответственно. В неделю компания располагает ресурсом рабочего времени в размере 600 часов на изготовление и 480 часов на сборку. Каждое изделие модели Н приносит 40 долл. прибыли, а модели W – 30 долл. прибыли. В какой пропорции производство моделей H и W будет обеспечивать максимальную прибыль?

Задача 2. Фирма производит заготовки из литого железа. Изготовление требует трех основных операций: отливка, шлифовка и сверление. Доступное время в неделю для отливки – 36000 минут; для шлифовки – 2250 минут; и для сверления – 3600 минут. Заготовка Х требует 80 минут для отливки, 2,5 минуты для шлифовки и 9 минут для сверления на одно изделие. Заготовка Y требует 60 минут для отливки, 4,5 минуты для шлифовки и 4 минуты для сверления на одно изделие. Каждая заготовка Х приносит 4 долл. прибыли, заготовка Y – 2 долл. Какая комбинация изделий X и Y будет максимизировать еженедельную прибыль?

Задача 3. Супружеская чета дополняет свой доход изготовлением фруктовых пирогов, которые они продают через небольшую бакалейную лавку. В сентябре они пекут пироги с виноградом и яблоками. Пироги с яблоками продаются бакалейщику по 1,50 долл., а пироги с виноградом – за 1,20 долл. Все приготовленные пироги продаются благодаря их высокому качеству. Рассмотрим только два основных вида ингредиентов для их изготовления: муку и сахар, которые закупаются один раз в месяц. На сентябрь уже заготовлено 120 кг сахара и 210 кг муки. Каждый яблочный пирог требует 150 г сахара и 300 г муки, а каждый виноградный пирог – 200 г сахара и 300 г муки. Определить количество виноградных и яблочных пирогов, которое максимизирует прибыль, если эта пара может изготовить яблочный пирог за шесть минут, а виноградный – за три минуты. При этом они планируют работать в сентябре не более 60 часов. Определить количество сахара, муки и времени, которое останется неиспользованным.

Рекомендуемая литература

1. Орлова И.В. В.А.Половников.Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2007. – С. 54-57.

2. Экономико-математические методы и модели / Под ред. проф. А.В. Кузнецова. ─ Минск: БГЭУ, 2000. – С. 4-26, 30-31.

3. Экономико-математические модели в антикризисном управлении: уч.пособие /Под ред.Р.С.Харитоновой. – Казань: Изд-во КГФЭИ, 2008. – С. 23-25.

Тема 4. Экономико-математические модели формирования производственной программы предприятия

Вопросы для обсуждения

1. Роль экономико-математических методов и моделей в решении планово-экономических задач промышленного предприятия

2. Сущность оптимизации производственной программы промышленного предприятия.

3. Возможные критерии оптимизации и системы ограничений в моделях формирования производственной программы.

Практические задания

К задаче 1 раздела Практические задания темы 3 выполнить следующие задания:

1. привести возможные критерии оптимизации при данных ограничениях,

2. составить формализованную модель задачи,

3. на основе отчетов, полученных в результате решения задачи, проанализировать экономический смысл содержания этих отчетов.

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры, подтверждающие, что одной системе ограничений могут соответствовать несколько критериев оптимизации.

2. Приведите примеры, подтверждающие, что одному и тому же критерию оптимизации могут соответствовать несколько разных целевых функций.

3. Структурные элементы экономико-математической модели: это математические объекты или экономические показатели? Как они взаимосвязаны?

4. Если математические уравнения отражают условия функционирования цеха, то сколько таких уравнений необходимо построить, чтобы модель соответствовала объекту? От чего зависит количество уравнений?

5. В чем преимущество формализованного представления экономико-математической модели перед математическим?

6. Приведите примеры ограничений по технико-экономическим показателям.

Задания для самостоятельной работы

К приведенным ниже задачам:

1. привести возможные критерии оптимизации,

2. составить табличную, математическую формализованную и электронную модель задачи на листе Excel,

3. решить задачу, получить отчет по результатам и отчет по устойчивости,

4. проанализировать экономический смысл содержания этих отчетов.

Задача 1. В связи с закрытием неприбыльной производственной линии на предприятии образовался избыток производственных мощностей. Менеджер рассматривает возможность использования свободной производственной линии для производства одного или более из трёх видов продуктов Х1, Х2 или Х3. В таблице 2 приведены затраты производственного времени на единицу каждого из этих продуктов.

Таблица 2

Нормы времени на изготовление единицы продукта по видам обработки

Вид обработки	Затраты времени на единицу продукта (час).
Х1	Х2	Х3
Фрезерование
Токарная
Шлифовка

Доступные ресурсы времени обработки в неделю: фрезерование- 800 ч., токарная- 400 ч., шлифование- 320 ч.

Коммерсанты оценивают, что они могут реализовать весь объём продукции видов Х1 и Х2, который может быть произведён, и максимум 80 единиц продукции вида Х3. Ожидаемая прибыль по видам продуктов на единицу продукции (удельная прибыль): Х1- 10 долл., X2- 6 долл., X3- 8 долл.

1. каково оптимальное соотношение между видами производимой продукции, обеспечивающее максимальную прибыль (в долларах)?

2. в каких пределах может изменяться удельная прибыль (по видам продуктов) без изменений найденного оптимального распределения и какие значения этой прибыли обеспечат максимальное увеличение полученного финансового результата?

Задача 2. Компания производит две марки телевизоров Astro и Cosmo. Работают два конвейера, каждый из которых выпускает телевизоры одной марки, и два цеха, занятых производством деталей для телевизоров обеих марок. Производственная мощность конвейера, выпускающего Astro, составляет 70 телевизоров в день, а конвейера Cosmo – 50 телевизоров в день. Цех А производит телевизионные трубки. На производство трубки для телевизора Astro требуется 1 ч рабочего времени, а на производство трубки для Cosmo – 2 ч. На данном этапе в цеху А производству трубок для телевизоров обеих марок может быть уделено не более 120 ч рабочего времени в день. В цеху Б изготавливаются корпуса для телевизоров. Причем на производство одного корпуса для Astro, как и для Cosmo, требуется 1 час рабочего времени. Цех Б может посвятить изготовлению корпусов не более 90 ч рабочего времени в день. Удельная валовая прибыль от реализации Astro и Cosmo составляет 20 долл. и 10 долл. соответственно.

При условии, что компания может продать все произведенные телевизоры, каким должен быть дневной план производства (цель – максимизация удельной валовой прибыли)?

Задача 3. Предприятие электронной промышленности выпускает пять моделей радиоприёмников, причем модели 1-3 производятся на технологической линии А, а модели 4-5 на технологической линии В. Суточный объём производства линии А- 70 изделий, линии В- 95 изделий. Радиоприёмники всех моделей используют однотипные элементы электронных схем в количествах, определяемых таблицей 3:

Таблица 3

Количество однотипных элементов в одном радиоприемнике

(по видам моделей)

Модель приёмника
Кол-во элементов
Прибыль от реализации, долл.

Максимальный суточный запас используемых элементов равен 1800 единицам.

1. определите оптимальные суточные объёмы производства радиоприёмников различных видов, доставляющие максимальную прибыль;

2. предприятие планирует в дополнение к двум существующим запустить третью технологическую линию С по сборке радиоприёмников с производительностью 100 изделий в сутки. Какие модели радиоприёмников целесообразно производить на этой линии, в каких объёмах и какой минимальный суточный запас элементов необходим для полной загруженности всех трёх линий?

Задача 4. Завод, находящийся в некоторой развивающейся стране, может производить пять различных продуктов в произвольном соотношении. В выпуске каждого продукта принимают участие три станка, как показано в таблице 4.

Таблица 4

Нормы времени на изготовление единицы продукта по видам станков

Продукт	Время работы станка, мин./кг
I	II	III
А B C D E

Ресурс рабочего времени каждого станка составляет 128 ч в неделю. Все продукты конкурентоспособны и все их произведено количество может быть продано по цене 5 долл., 4 долл., 5 долл., 4 долл. и 4 долл. за кг продукта A, B, C, D и E соответственно. Переменные затраты на зарплаты составляют 4 долл. в час для станков I и II, 3 долл. в час для станка III. Стоимость материалов, затраченных на выпуск каждого кг продуктов А и С, составляет 2 долл., а продуктов B, D и E – 1 долл. Руководство хочет максимизировать прибыль компании.

1. построить экономико-математическую модель компании;

2. сколько часов отработает каждый станок, и в каких единицах измеряются теневые цены для ограничений, задающих ресурс рабочего времени для станков?

3. на сколько может увеличиться цена продажи продукта А, прежде чем изменится оптимальный производственный план?

Задача 5. Цех, изготавливающий два вида изделий, располагает наличием металла в количестве 12000 кг и ресурсов машинного времени 100 смен. Какое количество изделий каждого вида необходимо изготовить, чтобы обеспечить максимальный выпуск товарной продукции с учетом экономических показателей, представленных в таблице 5?

Таблица 5

Показатели работы цеха при производстве изделий

Показатели	Изделия
I	II
Производительность оборудования в смену,тыс.шт
Расход металла кг/тыс.шт
Макс.потребность тыс.шт
Цена руб.за тыс.шт

Исследовать устойчивость оптимального плана к изменениям цен на выпускаемую продукцию.

Задача 6.

На участке цеха имеется две группы оборудования, на которых изготавливаются изделия двух наименований (таблица 6).

Таблица 6

Производительность групп оборудования при производстве изделий А и Б

Операция	Группа оборудования	Производительность оборудования (шт/час)	Фонд времени оборудования, станко-часы
А	Б
	Токарная
	Фрезерная

Определить количество изделий, при котором возможно максимальное использование времени работы оборудования.

Задача 7.

Прокат А может быть реализован в количестве 250 тонн с прибылью 350 руб. на 1 т., прокат Б- в количестве 1250 т., с прибылью 250 руб/т, и прокат В- в количестве 1500 тонн с прибылью 400 руб/т.

Для выполнения плана завод располагает тремя видами оборудования: обжигальными печами (I), травильным агрегатом (II), прокатным станом (III). Фонд времени и нормы расхода времени на 1 т проката приведены в таблице 7.

Таблица 7

Фонд времени оборудования и нормы расхода времени на 1 т проката

Вид оборудования	Месячный фонд времени (час).	Расход времени по видам проката (час/т)
А	Б	В
I		3.5	2.8	-
II		0.083	0.083	0.104
III		0.067	0.1	0.083

Подобрать такую программу изготовления трёх видов проката, которая обеспечивала бы максимальную общую прибыль.

Задача 8.

На металлургическом заводе последовательно в трёх цехах изготавливается сталь двух марок. Время обработки одной тонны каждой марки стали и общее время возможной работы цехов в соответствующем периоде представлены в таблице 8:

Таблица 8

Трудоёмкость обработки одной тонны стали и время работы цеха в сутки

Цехи	Трудоёмкость обработки одной тонны стали (час).	Время работы цеха в сутки (час.)
1 марка	2 марка
Травильный
Термический
Прокатный
Цена одной тонны стали, тыс.руб.

1. Определить максимальный объём выпуска стали различных марок в стоимостном выражении, если суточная программа выпуска первой марки стали составляет 3 тонны, второй- 1.5 тонны;

2. Проанализировать использование ресурсов по цехам, определить оценку их дефицитности;

3. На сколько увеличится выпуск стали в стоимостном выражении, если время работы травильного цеха увеличить на 4 часа?

Задача 9.

Дана следующая информация (таблица 9):

Таблица 9

Показатели работы цеха при производстве изделий А и Б

Ресурсы	Единицы измерения	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции	Наличие ресурсов
А	Б
Оборудование	Производительность (шт/час)			210 (час)
Трудовые ресурсы	Чел.-часы
Себестоимость ед.продукции	Тыс.руб.	2,13
Цена ед.продукции	Тыс.руб.

Составить план производства продукции, миниминизирующий суммарную себестоимость выпуска и обеспечивающий выполнение задания по объёму реализации продукции в сумме 180 тыс.руб. Проанализировать использование ресурсов и устойчивость оптимального решения на изменение их объёма.

Задача 10.

Управляющий персоналом университета должен составить расписание охраны территории университета, удовлетворяющее требованиям, представленным в таблице 10:

Таблица 10

Требования к численности охранников по временным отрезкам в течение суток

Время	Минимальное число офицеров охраны
0.00-4.00 4.00-8.00 8.00-12.00 12.00-16.00 16.00-20.00 20.00-24.00

Офицеры дежурят посменно, продолжительность смены 8ч. На каждый день установлено 6 смен. Время начала и окончания каждой смены показано в таблице 11:

Таблица 11

Расписание режима работы смен

Смена	Время начала	Время окончания
	0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00	8.00 12.00 16.00 20.00 24.00 4.00

Управляющему необходимо определить, сколько офицеров назначить в каждую смену, чтобы минимизировать их количество и при этом удовлетворить требования к организации охраны.

Задача 11.

Производитель конфет заключил контракт на аренду небольшого кондитерского отдела в фешенебельном магазине. Для начала ассортимент магазина предполагается намеренно ограничить. Отдел будет предлагать набор ассорти из равных частей орехов, изюма, карамели и шоколадных конфет, а также смесь ассорти-люкс, которая состоит наполовину из орехов и наполовину из шоколадных конфет. Наборы будут продаваться в однофунтовых коробках. При этом в отделе можно будет купить отдельные однофунтовые коробки орехов, изюма, карамели и шоколадных конфет.

Главное преимущество этого кондитерского отдела заключается в том, что все конфеты свежие и производятся прямо на месте. Однако площади под хранение готовой продукции и ингредиентов ограничены. Допустимые значения емкостей под хранение продукции (фунтов в день) приведены ниже:

- орехи – 120;

- изюм – 200;

- карамель – 100;

- шоколадные конфеты – 160.

Чтобы создать хороший имидж и привлечь покупателей, отдел планирует ежедневно производить, по меньшей мере, 20 коробок каждого типа изделия. Коробки с конфетами, которые удалось продать, предполагается изымать из оборота в конце дня и передавать близлежащей частной лечебнице в благотворительных целях.

Прибыль на одну коробку сладостей для различных наименований распределяется следующим образом:

- набор ассорти - 0,80 долл.;

- ассорти-люкс- 0,90 долл.;

- орехи - 0,70 долл.;

- изюм - 0,60 долл.;

- карамель - 0,50 долл.;

- шоколадные конфеты - 0,75 долл.

Сформулируйте модель линейного программирования. Определите оптимальные значения изделий (количество коробок каждого наименования) из предлагаемого ассортимента и максимальную прибыль.

Задача 12.

Кондитерский магазин готовится к периоду школьных каникул. Владелец магазина должен решить, сколько пакетиков особой смеси и сколько пакетиков обычной смеси из орехов и изюма Peanut/Raisin Delite необходимо приготовить к продаже. Особая смесь содержит 2/3 фунта изюма и 1/3 фунта орехов, а стандартная смесь – 1/2 фунта изюма и 1/2 фунта орехов на один пакетик. В магазине имеется в наличии 90 фунтов изюма и 60 фунтов орехов. В каждом из компонентов содержится следующая пропорция питательных веществ (в долях единиц):

- орехи: белки 0,6; жиры – 0,2; углеводы – 0,1; прочие – 0,1.

- изюм: белки 0,3; жиры – 0,15; углеводы – 0,5; прочие – 0,05.

Орехи стоят 0,60 долл. за фунт, а изюм - 1,50 долл. за фунт. Особая смесь будут приготавливаться по $2,90 за фунт, а стандартная смесь - 2,55 долл. за фунт. Владелец магазина рассчитывает продать не более 110 пакетиков одного типа. Ответить на следующие вопросы:

1. если цель состоит в максимизации прибыли, то сколько пакетиков каждого типа следует подготовить?

2. в каком количестве должны входить в каждую смесь орехи и изюм, чтобы обеспечить минимальное содержание питательных веществ и минимальную сумму расходов?

Задача 13.

Компания располагает двумя заводами и тремя оптовыми магазинами-складами. Первый завод может поставлять не более 100 единиц определенной продукции, а второй – не более 200 единиц. В первом магазине-складе может храниться не более 150 единиц продукции, во втором – 200, а в третьем – 350 единиц. Цена продажи единицы продукции в первом магазине составляет 12 долл., во втором – 14 долл., в третьем – 15 долл. Суммарные затраты на производство единицы продукции на i-ом заводе и доставку ее в магазин-склад j приведены в таблице 12. Компания пытается определить сколько единиц продукции необходимо отравить с каждого завода каждому магазину чтобы максимизировать прибыль.

Дата добавления: 2015-07-13