Волны H-типа в асимметричном планарном диэлектрическом волново

Исключив составляющие и из системы уравнений (2.5), для H - волн, приходим к последующим скалярным уравнениям для в каждой из сред (рис. 2.1,б):

, при (2.8а)

где

, при x<0, (2.8б)

где

, при x>t, (2.8в)

где

Задание: для рассматриваемого случая раскрыть (2.7) для , и сравнить с (2.8).

Отличие записи (2.8,а) от (2.8,б), (2.8,в) обусловлено тем, что электромагнитные волны, определяемые вне диэлектрического слоя должны иметь характер поверхностной волны (см. (1.2)), т.е. поле как бы “прилипает” к поверхности раздела и амплитуда уменьшается при удалении от нее по экспоненциальному закону. Величины h, p, q при записи (2.8,а) – (2.8,в) – вещественные положительные числа.

На границе раздела раздела (рис. 2.1,б) тангенциальные составляющие электрического и магнитного поля должны удовлетворять граничным условиям (на границе раздела двух сред касательные компоненты электрического и магнитного поля непрерывны):

(2.9)

Запишем решение уравнений (2.8,а) – (2.8,в) с учетом условия убывания поля при :

(2.10)

где A_н , B, C, D и q, h, p – постоянные, которые нужно определить.

Задание: пояснить подробно (2.10), опираясь на общий вид решения (2.8,а) – (2.8,в).

Подставляя (2.10) в граничных условия (2.9) для получаем соотношения:

(2.11).

Кроме того, в соответствии с (2.5) . Найдем помощью (2.10) составляющую и удовлетворим граничным условиям (2.9). В результате получим дополнительную к (2.9) систему уравнений:

(2.12).

Четыре линейных однородных уравнения связывают четыре неизвестные постоянные A_н, B, C, D. После преобразования (2.11), (2.12) к стандартной форме однородных алгебраических уравнений, для получения отличных от нуля решений необходимо приравнять к нулю определитель системы уравнений (2.11), (2.12):

Задание: объяснить последнее утверждение.

. (2.13)

Раскрывая соотношение (2.13), называемое характеристическим уравнением H–мод, имеем

, (2.14)

где m = 0,1,2,3… – индекс мод.

Задание: получить (2.14) { при выводе (2.14) использовать формулу }.

Поскольку тангенс – функция периодическая с периодом, равным , в правой части соотношения (2.14) появилось целое кратное числа . Таким образом, при данной толщине диэлектрического волновода t существует множество решений (типов волн – мод) характеристического уравнения (2.14). Эти моды различаются индексом m, различными значениями поперечных волновых чисел h, q, p и обозначаются как Н₀, Н₁, Н₂ и т.д.

Учитывая дополнительные соотношения, следующие из (2.8,а) – (2.8,в):

; , (2.15)

исключая в них постоянную распространения , можно получить еще два уравнения, которые связывают h, q, p.

Обозначим через коэффициент преломления среды ( = 1,2,3), получим полную систему уравнений, определяющих значения поперечных волновых чисел h, q, p для H– мод:

(2.16)

Выразив из (2.11), (2.12) амплитудные коэффициентыB, C, D через A_н и подставив их в (2.10), найдём комплексные амплитуды составляющих H–мод через произвольную амплитудную постоянную A_н (зависит от источника возбуждения, который на данном этапе не рассматривается) и поперечные волновые числа h, q, p:

Задание: получить (2.17).

(2.17).

Определив из системы (2.16) величины h, q, p, зависящие от толщины ДВ t и от коэффициентов преломления сред, можно полностью рассчитать электромагнитное поле любой H –волны по формуле (2.17). Постоянная распространения находится с помощью соотношений (2.15); длина волны в диэлектрическом волноводе , а фазовая скорость .

Комплексная постоянная A_н осталась не определённой, поскольку исследуются “свободные”, т.е. не зависящие от источника возбуждения, волны. Модуль и фаза постоянной A_н зависят от амплитуды и фазы источника возбуждения. Используя (2.17) и учитывая (2.4), можно найти структуру H – мод в направлении распространения волн, например:

где – комплексная амплитуда. Откуда видно, что в фиксированный момент времени вдоль оси ДВ распределение –компоненты носит периодический характер с периодом, равным длине волны в диэлектрическом волноводе .

2.3. Волны E–типа в асимметричном планарном диэлектрическом волноводе

По аналогии с разд. 2.1, 2.2, выполняя все задания, будем исследовать E-моды в диэлектрическом планарном волноводе. Единственными ненулевыми составляющими поля в этом случае будут ; граничные условия отличаются от (2.9).

Решение ищется в виде [сравни с (2.10)]:

(2.18)

Характеристическое уравнение и соотношение между постоянными h, q, p выводятся так же, как и для H - мод, однако следует иметь в виду, что диэлектрические проницаемости слоёв различные. В результате получим систему уравнений, определяющих постоянными h, q, p для E - мод:

. (2.19)

Эти уравнения отличаются от уравнения (2.16) для H–мод только наличием квадрата отношений показателей преломления в аргументах арктангенса; E–моды обозначаются как и т.д.

Составляющие поля для E - мод записываются с учетом (2.6) следующим образом:

(2.20)

, .

Дата добавления: 2015-08-31