Тема : Дифференциальные уравнения

Номинальный и реальный ВВП, Индексы цен.

Особенностью ВВП является то, что это показатель, с одной стороны, количественный, а с другой стоимостной, т.е. денежный показатель. Следовательно, его величина зависит как от количества произведенных за определенное время товаров и услуг, так и от уровня их цен. В связи с этим различают номинальный и реальный ВВП.

Номинальный ВВП – это ВВП, рассчитанный в текущих ценах, в ценах данного года.

Реальный ВВП — это ВВП, измеренный в сопостави­мых (неизменных) ценах, в ценах базового года:

Реальный ВВП = Номинальный ВВП / Индекс цен.

Индексы цен используются для оценки изменения темпов инфляции, динамики стоимости жизни.

Из множества индексов в макроэкономике обычно используют индекс потребительских цен (ИПЦ), индекс цен производителей (ИЦП) и дефлятор ВВП.

ИПЦ рассчитывается на основе стоимости рыночной потребительской корзины, которая включает набор товаров и услуг, потребляемой типичной семьей в течение года:

ИПЦ = Σ p _{i t} q _{i t} / Σ p _{i 0} q _{i 0},

где p _i - цена i – ого товара в текущем (t) и базовом (0) периодах;

q _i - количество i – ого товара в текущем (t) и базовом (0) периодах;

i - номер товара, вошедшего в набор

ИПЦ может исчисляться как в долях единицы, так и в %, если индекс умножить на 100%.

Отношение номинального ВНП к реальному называют индексом цен или дефлятором ВВП:

Индекс цен (Дефлятор ВВП) = номинальный ВВП / Реальный ВВП

.

Дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

В уравнения, описывающие различные процессы, могут входить кроме аргумента, искомой функции и производные от этой функции. Пр. Второй закон Ньютона:

ma = F md²S (t)/dt² = F(t, S(t), S’(t)). Это принципиально новый тип уравнений - дифференциальные уравнения (ДУ).

Опр. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) наз. уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные, т.е. дифференциалы

F(x, y, y’, y’’,..., y⁽ⁿ⁾) = 0 (1)

Если функция зависит от нескольких аргументов, то имеем дело с ДУ в частных производных (ДУЧП).

Пр. 2x + y – 3y’ = 0; xy dx = (2x + 1) dy

Опр. Порядком ДУ наз. порядок наивысшей производной.

Уравнения 1-ого порядка: F(x, y, y’) = 0 – неявная форма; y’ = f(x, y) -явная форма

Опр. Решением ДУ наз.всякая функция y = g(x), которая обращает уравнение в тождество.

Пр. Показать, что y = C/x есть решение ДУ y’ = - y/x.

y’ = (C/x) = - C/x², - y/x = - C/x², т.е. равенство выполняется - C/x² = - C/x²

Общее решение ДУ 1-ого порядка содержит произвольную константу С и записывается

y = g(x, C), т.к. всегда получаетсяв результате интегрирования некоторой функции.

Частное решение y = g(x,C₀) получается из общего при конкретном значении константы С = С₀. Графически частному решению соответствует интегральная кривая, а общему решению – семейство интегральных кривых. Само уравнение y’ = f(x, y) при конкретных x₀, y₀ определяет тангенс наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через данную точку

y’ = f(x₀, y₀) = k = tg a

Решение, которое не получается из общего решения наз. особым решением. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям y(x₀) = y₀, наз. задачей Коши.

Пр. Доказать, что y = C/x + x² является решением ДУ y’ + y/x = 3x. Найти частное решение с начальным условием y(1) = 1

Проверим: (C/x + x²)’ + (C/x + x²)/x = - C/x² + 2x + C/x² + x = 3x, т.е. 3x = 3x Вычисление константы: 1 = С/1 + 1² C = 0, частное решение: y = x²

Решение ДУ самого простого вида y’ = f(x) сводится к нахождению первообразной от f(x). Умножимобе части уравнения на dx и проинтегрируем y`dx = f(x) dx. y = F(x) + C. В ДУ n –ого порядка y⁽ⁿ⁾ = f(x) интегрирование проводится n раз и общее решение включает n констант интегрирования y = g(x, C₁, C₂,..., C_n). Процедура решения ДУ наз. интегрированием ДУ.

Простейшие ДУ 1-ого порядка.

1. y’ = f(x) g(y) -ДУ с разделяющимися переменными.

2. y’ = f(y/x) - однородное ДУ

3. y’ + P(x)y = Q(x) -линейное ДУ

4. y’ + P(x) y = Q(x) yⁿ -ДУ Бернулли

1. P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, где -уравнение в полных дифференциалах

Это канонический вид ДУ. При решении ДУ его сначала приводят к каноническому виду и затем используют особый прием решения для каждого типа ДУ.

OДУ с разделяющимися переменными.

Канонический вид y’ = f(x) g(y) (2)

т.е. производная равна произведению функции от х на функцию от y. Или в дифференциальной форме

M₁(x) N₁(y) dx + M₂(x) N₂(y) dy = 0 (2а)

Алгоритм решения.

1. Представим производную как отношение дифференциалов y` = .

(Это определение производной по Ньютону).

2. Произведем разделение переменных dy = f(x) dx, где g(y) 0. Т.к. произведе-ние любой функции на дифференциал аргумента есть дифференциал первообразной этой функции, то приходим к равенству двух дифференциалов dG(y) = dF(x).

3. Проинтегрируем левую часть равенства с разделенными переменными по у, правую по х и найдем первообразные G(y), F(x).

4. Из равенства дифференциалов dG(y) = dF(x) следует равенство первообразных G(y) = F(x) + C, которое и определяет общее решение ДУ в неявной форме.

Опр. Общее решение ДУ в неявной форме наз. общим интегралом.

Пр. y’ = 1 + y² , dy/dx = 1 + y², dy/(1 + y²) = dx, dy/(1 + y²) = dx,

arctg y = x + C y = tg(x + C)

общий интеграл общее решение

Пр. y’ = 2 ; y’ = x y; y’ = x y²; y’ = - x / y; xy dx + (x + 1) dy = 0

Однородное диф.уравнение.

Канонический вид y’ = g(y/x) (3)

т.е. производная равна некоторой функции от отношения y/x. В общем случае каждый член однородного уравнения имеет множитель xⁿ y^m, где n, m – произвольны, а n + m = const. Пусть перед y’ стоит множитель А, тогда после умножения всех членов уравнения на А^-1 придем к каноническому виду уравнения (3), где n + m = 0.

Пр. xy² y` = 3x<sup>2</sup>y + y<sup>3</sup> | y` = 3 , n + m = 3 n + m = 0

ДУ y’ = g(y/x) решается заменой y/x = u или y = x u. Тогда y’ = u + x u’ и получаем уравнение с разделяющимися переменными u + x u’ = g(u) или u’ = (g(u) - u)(1/x).

(3a)

Пр. 2xyy’ = x² + y², (n+m=2). Умножим на 1/xy, тогда 2y’ = x/y + y/x и (n+m=0). Пусть y/x = u или y = x u, тогда 2(u + xu’) = 1/u + u, u’ = [(1–u²)/2u] (1/x) -ДУ с разделяющимися. переменными, 2u du/(1-u²) = dx/x и т.д.

Общий интеграл: - ln(1– u²) = ln x + ln C = ln Cx

Пр. y` = y/x + x/y, y<sup>2</sup> + x<sup>2</sup>y` = xyy`, y + - xy` = 0

. Линейное диф.уравнение.

Канонический вид y’ + P(x) y = Q(x) (4)

т.е. y и y’ входят в первой степени (линейно). Подстановка y = u(x)v(x) сводит это уравнение к двум уравнениям с разделяющимися переменными. В этом случае

y’ = (u v)’ = u’ v + u v’ и уравнение примет вид u’ v + u v’ + P u v = Q. На одну из двух неизвестных величин наложим условие. Пусть u v’ + P u v = 0 (I), тогда u’ v = Q (II).

(I) v’ /v = P(x) р.п. частное решение ln v = v = exp ()

(II) u’ v = Q(x) u’ = Q(x) exp (- ) р.п. u = + С.

Общее решение y = u v = exp () [ + С].

Пр. y’ –(3/x) y = x. Пусть y = uv, тогда y’= (uv)’ = u’v+uv’ и

u’v + uv’ – (3/x)uv = x. Пусть uv’– (3/x)uv = 0 (1), тогда u’v = x (11).

(I) v’ = (3/x)v (р.п.) v’/v = 3/x (част. решение) ln v = 3ln x = ln x³ v = x³,

(II) u’x³ = x (р.п.) u’ = x ^-2 u = -1/x + C. Ответ: y = uv = x³ (C – 1/x)

Пр. y` + y = e<sup>x</sup>, xy` + y = ln x + 1, x²y` = 2xy – 3.

Уравнение Бернулли.

Канонический вид: y’ + P(x) y = Q(x) yⁿ (5)

т.е. свободный член линейного уравнения имеет дополнительный множитель уⁿ.

Решается подстановкой y = u(x)v(x), аналогично случаю линейного уравнения. Отличие только в уравнение (II), вместо u’v(x) = Q(x) получим u^-nu’ = Q(x) v^{n – 1}(x).

Пр. (1 – x²)y` -xy = xy²

Уравнение в полных дифференциалах:

Канонический вид: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 (6)

при условии . Это условие означает, что левая часть равенства есть полный дифференциал некоторой функции двух переменных dU(x,y) и он равен нулю. Но из равенства dU = 0 U(x,y) = C. Это есть решение уравнения. Надо только определить вид первообразной U(x,y). Согласно теории ФНП U(x,y) можно представить в виде суммы интегралов с переменным верхним пределом

U(x,y) = , где х₀, у₀ - произвольны. (6a)

Пр. (2xy – 1)dx + (3y² + x²)dy = 0. Проверка условия = 2x, = 2x -да Пусть х₀ = у₀ = 0, тогда U(x,y) = = - x + y³ + x²y = C. Проверка: = 2xy – 1 = P, = 3y² + x² = Q общий интеграл

Пр. e^-y dx + (1 – xe^-y)dy = 0, 2x cos²y dx + x dy = 0

Дифференциальные уравнения 2-ого порядка.

Общий вид F(x, y, y’, y’’) = 0 или y’’ = f(x, y, y’). Общее решение y = g(x, C₁,C₂) содержит две произвольные константы и обращает ДУ в верное тождество.

Дата добавления: 2017-01-13